Encontre a solução para o seguinte sistema linear utilizando o Método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arrendodamento de três casas decimais. Ao final, apresente o erro máximo cometido através do cálculo do vetor resíduo.
O enunciado dá o sistema linear (peguei todos os coeficientes e termos independentes do próprio enunciado) e pede: encontrar a solução usando o Método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arredondamento a três casas decimais; e, ao final, apresentar o erro máximo cometido através do cálculo do vetor resíduo.
Informação importante de procedimento (regra que vou seguir): em cada operação aritmética (multiplicações, somas, subtrações, divisões usadas para construir a matriz triangular e na retro-substituição) vou arredondar o resultado armazenado a três casas decimais e usar esse valor nos passos seguintes. Também farei pivoteamento parcial (troca de linhas escolhendo o maior valor absoluto na coluna corrente entre as linhas disponíveis).]
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada inicial [A\mid b] (os números vêm do enunciado):
Coluna 3 (linhas 3 e 4): comparo |-4{,}300|=4{,}300 e |6{,}900|=6{,}900. Maior é 6{,}900 (linha 4). Troco R_3 \leftrightarrow R_4. Matriz com o terceiro pivot na linha 3:
Vou agora fazer a retro-substituição (back-substitution). A retro-substituição resolve as incógnitas de baixo para cima, usando os coeficientes já arredondados.]
Passo 10
Retro-substituição passo a passo (arredondando resultados a três casas decimais quando forem armazenados):
Da linha 3 (equação 3 após permutações):
6{,}900\,x_{3} + 2{,}100\,x_{4} = 5{,}250.
Da linha 4:
-0{,}001\,x_{3} + 0{,}608\,x_{4} = -3{,}479.
Uma maneira estável (dado que a linha 4 ainda tem um pequeno coeficiente em x_3) é expressar x_3 pela equação da linha 3 em função de x_4 e substituir na linha 4.
Cálculo do vetor resíduo r = b - A x (uso a matriz A original do enunciado e os valores x_i arredondados; calculo cada componente e arredondo o resultado final a três casas):