Encontre a solução para o seguinte sistema linear utilizando o Método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arrendodamento de três casas decimais. Ao final, apresente o erro máximo cometido através do cálculo do vetor resíduo.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+x_{4} & =2,5 \\\\ -4 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4} & =7 \\\ x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}-x_{4} & =-10 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}+6 x_{3}+x_{4} & =-2 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (peguei todos os coeficientes e termos independentes do próprio enunciado) e pede: encontrar a solução usando o Método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arredondamento a três casas decimais; e, ao final, apresentar o erro máximo cometido através do cálculo do vetor resíduo.
O sistema é
\begin{cases} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+x_{4} = 2,5,\\[4pt] -4 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4} = 7,\\[4pt] x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}-x_{4} = -10,\\[4pt] -x_{1}+5 x_{2}+6 x_{3}+x_{4} = -2. \end{cases}
Informação importante de procedimento (regra que vou seguir): em cada operação aritmética (multiplicações, somas, subtrações, divisões usadas para construir a matriz triangular e na retro-substituição) vou arredondar o resultado armazenado a três casas decimais e usar esse valor nos passos seguintes. Também farei pivoteamento parcial (troca de linhas escolhendo o maior valor absoluto na coluna corrente entre as linhas disponíveis).]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial [A\mid b] (os números vêm do enunciado):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 3 & 1 & 2,5\\[2pt] -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 1 & 2 & -4 & -1 & -10\\[2pt] -1 & 5 & 6 & 1 & -2 \end{array}\right]
Vou aplicar eliminação com pivoteamento parcial coluna a coluna.]

Passo 3

Coluna 1: entre as entradas |2|,|{-4}|,|1|,|{-1}| o máximo absoluto é |{-4}|=4 (linha 2). Faço troca R_1 \leftrightarrow R_2. Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 2 & -1 & 3 & 1 & 2,5\\[2pt] 1 & 2 & -4 & -1 & -10\\[2pt] -1 & 5 & 6 & 1 & -2 \end{array}\right]
Pivot selecionado: a_{11}=-4.]

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (usar m_{i1} = a_{i1}/a_{11} e fazer R_i \leftarrow R_i - m_{i1} R_1, arredondando cada resultado a três casas decimais).
  • Para R_2: m_{21} = 2/(-4) = -0,5.
    R_2 \leftarrow R_2 -(-0,5)R_1 = R_2 + 0,5R_1.
    0,5R_1 = [-2,\,0,\,3,\,1 \mid 3,5].
    R_2 = [2,-1,3,1 \mid 2,5] + [-2,0,3,1 \mid 3,5] = [0,-1,6,2 \mid 6,0].
    (Arredondei cada entrada para três casas decimais; aqui os valores são exatos com três casas.)
  • Para R_3: m_{31} = 1/(-4) = -0,250.
    R_3 \leftarrow R_3 -(-0,250)R_1 = R_3 + 0,250R_1.
    0,250R_1 = [-1,\,0,\,1{,}500,\,0{,}500 \mid 1{,}750].
    R_3 = [1,2,-4,-1 \mid -10] + [-1,0,1{,}500,0{,}500\mid 1{,}750]
    = [0,2,-2{,}500,-0{,}500 \mid -8{,}250] (valores com três casas).
  • Para R_4: m_{41} = -1/(-4) = 0,250.
    R_4 \leftarrow R_4 - 0,250R_1.
    0,250R_1 = [-1,0,1{,}500,0{,}500 \mid 1{,}750].
    R_4 = [-1,5,6,1 \mid -2] - [-1,0,1{,}500,0{,}500\mid 1{,}750]
    = [0,5,4{,}500,0{,}500 \mid -3{,}750].
Matriz após eliminação da primeira coluna:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 0 & -1 & 6 & 2 & 6,0\\[2pt] 0 & 2 & -2,500 & -0,500 & -8,250\\[2pt] 0 & 5 & 4,500 & 0,500 & -3,750 \end{array}\right]]

Passo 5

Coluna 2 (linhas 2 a 4): comparo |-1|=1, |2|=2, |5|=5. Maior é 5 (linha 4). Troco R_2 \leftrightarrow R_4. Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 0 & 5 & 4{,}500 & 0{,}500 & -3{,}750\\[2pt] 0 & 2 & -2{,}500 & -0{,}500 & -8{,}250\\[2pt] 0 & -1 & 6 & 2 & 6{,}0 \end{array}\right]
Pivot agora a_{22}=5.]

Passo 6

Eliminação na coluna 2 para linhas 3 e 4:
  • Para R_3: m_{32} = 2/5 = 0,400.
    R_3 \leftarrow R_3 - 0,400R_2.
    0,400R_2 = [0,\,2,\,1{,}800,\,0{,}200 \mid -1{,}500].
    R_3 = [0,2,-2{,}500,-0{,}500 \mid -8{,}250] - [0,2,1{,}800,0{,}200\mid -1{,}500]
    = [0,0,-4{,}300,-0{,}700 \mid -6{,}750].
  • For R_4: m_{42} = -1/5 = -0,200.
    R_4 \leftarrow R_4 -(-0,200)R_2 = R_4 + 0,200R_2.
    0,200R_2 = [0,1,0{,}900,0{,}100 \mid -0{,}750].
    R_4 = [0,-1,6,2 \mid 6{,}0] + [0,1,0{,}900,0{,}100 \mid -0{,}750]
    = [0,0,6{,}900,2{,}100 \mid 5{,}250].
Matriz após eliminar coluna 2:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 0 & 5 & 4{,}500 & 0{,}500 & -3{,}750\\[2pt] 0 & 0 & -4{,}300 & -0{,}700 & -6{,}750\\[2pt] 0 & 0 & 6{,}900 & 2{,}100 & 5{,}250 \end{array}\right]]

Passo 7

Coluna 3 (linhas 3 e 4): comparo |-4{,}300|=4{,}300 e |6{,}900|=6{,}900. Maior é 6{,}900 (linha 4). Troco R_3 \leftrightarrow R_4. Matriz com o terceiro pivot na linha 3:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 0 & 5 & 4{,}500 & 0{,}500 & -3{,}750\\[2pt] 0 & 0 & 6{,}900 & 2{,}100 & 5{,}250\\[2pt] 0 & 0 & -4{,}300 & -0{,}700 & -6{,}750 \end{array}\right]
Pivot agora a_{33}=6{,}900.]

Passo 8

Eliminação na coluna 3 para a linha 4:
Multiplicador m_{43} = (-4{,}300)/6{,}900 \approx -0{,}623188. Arredondo m_{43} a três casas: m_{43} = -0{,}623.
Aplicar R_4 \leftarrow R_4 - m_{43} R_3 = R_4 - (-0{,}623)R_3 = R_4 + 0{,}623R_3.
Calcule 0{,}623R_3 = [0,0,4{,}299,1{,}308 \mid 3{,}271] (valores arredondados a três casas onde necessário).
Agora atualizo R_4:
R_4 = [0,0,-4{,}300,-0{,}700 \mid -6{,}750] + [0,0,4{,}299,1{,}308 \mid 3{,}271] = [0,0,-0{,}001,0{,}608 \mid -3{,}479].
(Arredondei cada entrada a três casas decimais.)

Passo 9

Agora a matriz está quase triangular superior (os pequenos resíduos vêm do arredondamento):
\left[\begin{array}{rrrr|r} -4 & 1 & 6 & 2 & 7\\[2pt] 0 & 5 & 4{,}500 & 0{,}500 & -3{,}750\\[2pt] 0 & 0 & 6{,}900 & 2{,}100 & 5{,}250\\[2pt] 0 & 0 & -0{,}001 & 0{,}608 & -3{,}479 \end{array}\right]
Vou agora fazer a retro-substituição (back-substitution). A retro-substituição resolve as incógnitas de baixo para cima, usando os coeficientes já arredondados.]

Passo 10

Retro-substituição passo a passo (arredondando resultados a três casas decimais quando forem armazenados):
Da linha 3 (equação 3 após permutações):
6{,}900\,x_{3} + 2{,}100\,x_{4} = 5{,}250.
Da linha 4:
-0{,}001\,x_{3} + 0{,}608\,x_{4} = -3{,}479.
Uma maneira estável (dado que a linha 4 ainda tem um pequeno coeficiente em x_3) é expressar x_3 pela equação da linha 3 em função de x_4 e substituir na linha 4.
Expressão de x_3 pela linha 3:
x_{3} = \frac{5{,}250 - 2{,}100\,x_{4}}{6{,}900}.
Substituo isso na linha 4:
-0{,}001\cdot\frac{5{,}250 - 2{,}100\,x_{4}}{6{,}900} + 0{,}608\,x_{4} = -3{,}479.
Faço as contas numéricas (com precisão suficiente e arredondando o resultado final a três casas para x_4):
Calculo intermediário:
-0{,}001\cdot\frac{5{,}250}{6{,}900} \approx -0{,}00076087,\qquad -0{,}001\cdot\frac{-2{,}100}{6{,}900} \approx 0{,}00030435.
Portanto a equação fica (aproximadamente)
\bigl(0{,}608 + 0{,}00030435\bigr)x_{4} \approx -3{,}479 + 0{,}00076087.
Compute:
0{,}60830435\,x_{4} \approx -3{,}47823913.
Logo
x_{4} \approx \frac{-3{,}47823913}{0{,}60830435} \approx -5{,}718.
Arredondando a três casas: \boxed{x_{4} = -5{,}718}.
Agora calculo x_{3} a partir de linha 3:
x_{3} = \frac{5{,}250 - 2{,}100\cdot(-5{,}718)}{6{,}900}.
Calculei 2{,}100\cdot(-5{,}718) = -12{,}007{,}8 (arredondado onde necessário), portanto
x_{3} \approx \frac{5{,}250 - (-12{,}007{,}8)}{6{,}900} = \frac{17{,}257{,}8}{6{,}900} \approx 2{,}501.
Arredondei a três casas: \boxed{x_{3} = 2{,}501}.
Agora linha 2 dá x_2:
5\,x_{2} + 4{,}500\,x_{3} + 0{,}500\,x_{4} = -3{,}750.
Substituo x_{3}=2{,}501 e x_{4}=-5{,}718:
5\,x_{2} = -3{,}750 - 4{,}500\cdot 2{,}501 - 0{,}500\cdot(-5{,}718).
Calculos:
4{,}500\cdot 2{,}501 = 11{,}254{,}5 \quad(\text{arred. a três casas }11{,}255\text{ se necessário}),êá
0{,}500\cdot(-5{,}718) = -2{,}859.
Então
5\,x_{2} \approx -3{,}750 - 11{,}254{,}5 - (-2{,}859) = -12{,}146.
Logo
x_{2} \approx \frac{-12{,}146}{5} = -2{,}4292 \approx -2{,}429.
Arredondando a três casas: \boxed{x_{2} = -2{,}429}.
Finalmente linha 1 para x_1:
-4\,x_{1} + 1\,x_{2} + 6\,x_{3} + 2\,x_{4} = 7.
Rearranjo:
x_{1} = \frac{-7 + x_{2} + 6 x_{3} + 2 x_{4}}{4}
(Substituí o sinal conforme manipulação anterior.) Substituo x_{2},x_{3},x_{4}:
x_{1} \approx \frac{-7 + (-2{,}429) + 6\cdot 2{,}501 + 2\cdot(-5{,}718)}{4}.
Calculos:
6\cdot 2{,}501 = 15{,}006,\qquad 2\cdot(-5{,}718) = -11{,}436.
Somando:
-7 -2{,}429 +15{,}006 -11{,}436 = -5{,}859.
Dividindo:
x_{1} \approx \frac{-5{,}859}{4} = -1{,}46475 \approx -1{,}465.
Arredondando a três casas: \boxed{x_{1} = -1{,}465}.
Assim, as soluções obtidas pelo processo com arredondamento a três casas são
x_{1} = -1{,}465,\quad x_{2} = -2{,}429,\quad x_{3} = 2{,}501,\quad x_{4} = -5{,}718.

Passo 11

Cálculo do vetor resíduo r = b - A x (uso a matriz A original do enunciado e os valores x_i arredondados; calculo cada componente e arredondo o resultado final a três casas):
  • Componente 1:
(Ax)_1 = 2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} + x_{4} = 2(-1{,}465) -(-2{,}429) + 3(2{,}501) + (-5{,}718).
Cálculo:
2(-1{,}465) = -2{,}930,\quad -(-2{,}429)=+2{,}429,\quad 3(2{,}501)=7{,}503.
Somando: -2{,}930 + 2{,}429 + 7{,}503 - 5{,}718 = 1{,}284.
Então r_{1} = b_{1} - (Ax)_1 = 2{,}5 - 1{,}284 = 1{,}216.
  • Componente 2:
(Ax)_2 = -4x_{1} + x_{2} + 6x_{3} + 2x_{4} = -4(-1{,}465) + (-2{,}429) + 6(2{,}501) + 2(-5{,}718).
Cálculo:
-4(-1{,}465)=5{,}860,\quad 6\cdot2{,}501=15{,}006,\quad 2\cdot(-5{,}718)=-11{,}436.
Somando: 5{,}860 - 2{,}429 + 15{,}006 - 11{,}436 = 7{,}001.
Então r_{2} = 7 - 7{,}001 = -0{,}001.
  • Componente 3:
(Ax)_3 = x_{1} + 2x_{2} -4x_{3} - x_{4} = -1{,}465 + 2(-2{,}429) -4(2{,}501) -(-5{,}718).
Cálculo:
2(-2{,}429)=-4{,}858,\quad -4(2{,}501)=-10{,}004,\quad -(-5{,}718)=+5{,}718.
Somando: -1{,}465 -4{,}858 -10{,}004 +5{,}718 = -10{,}609.
Então r_{3} = -10 - (-10{,}609) = 0{,}609.
  • Componente 4:
(Ax)_4 = -x_{1} + 5x_{2} + 6x_{3} + x_{4} = -(-1{,}465) + 5(-2{,}429) + 6(2{,}501) + (-5{,}718).
Cálculo:
-(-1{,}465)=1{,}465,\quad 5(-2{,}429)=-12{,}145,\quad 6(2{,}501)=15{,}006.
Somando: 1{,}465 -12{,}145 +15{,}006 -5{,}718 = -1{,}392.
Então r_{4} = -2 - (-1{,}392) = -0{,}608.
Portanto o vetor resíduo (componente a três casas) é
r = \bigl[\,1{,}216,\; -0{,}001,\; 0{,}609,\; -0{,}608\,\bigr].

Passo 12

Erro máximo cometido: tomo o máximo das magnitudes das componentes do resíduo:
\max_{i}|r_{i}| = \max\{\,|1{,}216|,\;|{-0{,}001}|,\;|0{,}609|,\;|{-0{,}608}|\,\} = 1{,}216.

Resposta

x_{1} = -1{,}465
x_{2} = -2{,}429
x_{3} = 2{,}501
x_{4} = -5{,}718
Erro máximo (máx.\ componente do resíduo) = 1{,}216

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