Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{3^{n}-2}\,, use o teste da comparação.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n+1}}{3^{n}-2},
usando o teste da comparação. Informações dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{5^{n+1}}{3^{n}-2}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge 1 (pois 5^{n+1}>0 e 3^n-2>0 para n\ge1).

Passo 2

Explicação didática do teste da comparação (versão usada aqui).
  • Seja (a_n) e (b_n) sequências com 0\le b_n\le a_n para todo n a partir de algum N.
  • Se \sum b_n diverge (ou seja, suas somas parciais crescem sem limite), então \sum a_n também diverge, porque seus termos são maiores ou iguais aos de uma série divergente.
    Observação útil: uma série com termos não tendendo a zero não pode convergir. Isso será usado como argumento auxiliar quando analisarmos séries geométricas com razão >1.

Passo 3

Construir uma série comparadora simples e explícita.
Para n\ge 1 vale
3^n-2 \le 3^n,
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\frac{1}{3^n-2} \ge \frac{1}{3^n}.
Multiplicando por 5^{n+1}>0 obtemos
\frac{5^{n+1}}{3^n-2} \ge \frac{5^{n+1}}{3^n} = 5\left(\frac{5}{3}\right)^{n}.
Definimos
b_n = 5\left(\frac{5}{3}\right)^{n}.
Note que usei a desigualdade acima porque o denominador original é menor que 3^n, fazendo o quociente original maior ou igual ao quociente com 3^n.

Passo 4

Analisar a série comparadora \sum b_n.
  • A série \sum b_n é geométrica (em índices n=1,2,\dots) com primeiro termo
b_1 = 5\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{25}{3} = 8,3333
(usar 4 casas decimais: 8,3333) e razão
r=\frac{5}{3}=1,6667\quad(\text{aprox. com 4 casas decimais}).
  • Para uma série geométrica com razão |r|<1 há convergência; se |r|\ge 1 há divergência. Aqui r=1,6667>1, então os termos b_n crescem exponencialmente e não tendem a zero:
\lim_{n\to\infty} b_n = +\infty.
Como os termos não tendem a zero, a série \sum b_n diverge (as somas parciais crescem sem limite).

Passo 5

Aplicar o teste da comparação e concluir.
  • Temos 0<b_n\le a_n para todo n\ge1.
  • Como \sum b_n diverge, pelo teste da comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n+1}}{3^{n}-2}
também diverge.
Além disso, pela desigualdade obtida também se vê diretamente que a_n\ge 5(5/3)^n\to\infty, portanto os termos a_n não tendem a zero — outro motivo imediato para divergência.

Resposta

A série diverge.

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