Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(b)
, use o teste da comparação.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(b)
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
usando o teste da comparação. Informações dadas:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
(pois e para ).
Passo 2
Explicação didática do teste da comparação (versão usada aqui).
- Seja
e sequências com para todo a partir de algum . - Se
diverge (ou seja, suas somas parciais crescem sem limite), então também diverge, porque seus termos são maiores ou iguais aos de uma série divergente.
Observação útil: uma série com termos não tendendo a zero não pode convergir. Isso será usado como argumento auxiliar quando analisarmos séries geométricas com razão.
Passo 3
Construir uma série comparadora simples e explícita.
Para vale
Para
logo
Multiplicando por
obtemos
Definimos
Note que usei a desigualdade acima porque o denominador original é menor que
, fazendo o quociente original maior ou igual ao quociente com
.
Passo 4
Analisar a série comparadora
.
- A série
é geométrica (em índices ) com primeiro termo
(usar 4 casas decimais:
) e razão
- Para uma série geométrica com razão
há convergência; se há divergência. Aqui , então os termos crescem exponencialmente e não tendem a zero:
Como os termos não tendem a zero, a série
diverge (as somas parciais crescem sem limite).
Passo 5
Aplicar o teste da comparação e concluir.
- Temos
para todo . - Como
diverge, pelo teste da comparação concluímos que
também diverge.
Além disso, pela desigualdade obtida também se vê diretamente que , portanto os termos
não tendem a zero — outro motivo imediato para divergência.
Além disso, pela desigualdade obtida também se vê diretamente que
Resposta
A série diverge.