Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{\sqrt[3]{n}}\,, usando o teste da razão.

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{\sqrt[3]{n}}.
O que nos é pedido:
  • Encontrar o raio de convergência da série.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do termo geral é \dfrac{(-1)^{n}x^{n}}{\sqrt[3]{n}}.
  • Observação prática: o termo com n=0 está mal definido porque \sqrt[3]{0}=0 e haveria divisão por zero. Vou corrigir isso explicitamente e considerar a série a partir de n=1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{\sqrt[3]{n}}.
(Não altera o comportamento assintótico da série para n grande, e é a forma correta para aplicar os testes de convergência.)

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão (dado) para obter o raio de convergência. Primeiro definimos o termo geral (em valor absoluto, pois o teste da razão usa módulos)
a_n=\frac{(-1)^{n}x^{n}}{\sqrt[3]{n}},\qquad |a_n|=\frac{|x|^{n}}{n^{1/3}}.
O teste da razão pede que calculemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}.
Calculemos essa razão:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{|x|^{\,n+1}/(n+1)^{1/3}}{|x|^{\,n}/n^{1/3}} =|x|\left(\frac{n}{n+1}\right)^{1/3}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1, segue
L=\lim_{n\to\infty}|x|\left(\frac{n}{n+1}\right)^{1/3}=|x|\cdot 1=|x|.

Passo 3

Interpretação do resultado do teste da razão:
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui L=|x|. Assim:
  • Para |x|<1 a série converge absolutamente.
  • Para |x|>1 a série diverge.
    Logo o raio de convergência é
R=1.
Seguindo a instrução de trabalhar com 4 casas decimais, escrevo o resultado numérico como R=1{,}0000.

Passo 4

Agora precisamos estudar os extremos do intervalo |x|=1: x=1 e x=-1.
Começando por x=1. Substituindo na série (a partir de n=1):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}1^{n}}{n^{1/3}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{1/3}}.
Esta é uma série alternada de termos de módulo b_n=\dfrac{1}{n^{1/3}}. Para aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada) precisamos de duas coisas:
  1. b_n é monótona decrescente para n suficientemente grande.
  2. \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Verificações:
  • \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{1/3}}=0, portanto a condição (2) vale.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^{1/3}}<\dfrac{1}{n^{1/3}}=b_n para todo n\ge 1, porque (n+1)^{1/3}>n^{1/3}. Então b_n é decrescente. Assim as duas condições do Teste de Leibniz estão satisfeitas e a série em x=1 converge.
Observação adicional (classificação): a série em x=1 não converge absolutamente porque a série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^{1/3}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}},
que é uma série p-série com p=\tfrac{1}{3}\le 1 e, portanto, diverge. Conclusão: em x=1 a série converge condicionalmente.

Passo 5

Agora o caso x=-1. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}}{n^{1/3}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n}}{n^{1/3}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}}.
Isso é exatamente a série dos termos positivos \sum n^{-1/3}, uma p-série com p=\tfrac{1}{3}. Sabe-se que uma p-série \sum n^{-p} converge somente quando p>1; aqui p=\tfrac{1}{3}\le 1, logo a série diverge. Portanto em x=-1 a série diverge.

Passo 6

Juntando tudo:
  • A série converge para |x|<1 (convergência absoluta).
  • Em x=1 converge condicionalmente.
  • Em x=-1 diverge.
    Logo o intervalo de convergência é (-1,1].

Resposta

Raio de convergência: 1{,}0000
Intervalo de convergência: (-1,1]

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