Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{\sqrt[3]{n}}\,, usando o teste da razão.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge).
Informações relevantes dadas:
A expressão do termo geral é \dfrac{(-1)^{n}x^{n}}{\sqrt[3]{n}}.
Observação prática: o termo com n=0 está mal definido porque \sqrt[3]{0}=0 e haveria divisão por zero. Vou corrigir isso explicitamente e considerar a série a partir de n=1:
(Não altera o comportamento assintótico da série para n grande, e é a forma correta para aplicar os testes de convergência.)
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão (dado) para obter o raio de convergência. Primeiro definimos o termo geral (em valor absoluto, pois o teste da razão usa módulos)
Esta é uma série alternada de termos de módulo b_n=\dfrac{1}{n^{1/3}}. Para aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada) precisamos de duas coisas:
b_n é monótona decrescente para n suficientemente grande.
\lim_{n\to\infty} b_n=0.
Verificações:
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{1/3}}=0, portanto a condição (2) vale.
b_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^{1/3}}<\dfrac{1}{n^{1/3}}=b_n para todo n\ge 1, porque (n+1)^{1/3}>n^{1/3}. Então b_n é decrescente. Assim as duas condições do Teste de Leibniz estão satisfeitas e a série em x=1 converge.
Observação adicional (classificação): a série em x=1 não converge absolutamente porque a série dos valores absolutos é
Isso é exatamente a série dos termos positivos \sum n^{-1/3}, uma p-série com p=\tfrac{1}{3}. Sabe-se que uma p-série \sum n^{-p} converge somente quando p>1; aqui p=\tfrac{1}{3}\le 1, logo a série diverge. Portanto em x=-1 a série diverge.
Passo 6
Juntando tudo:
A série converge para |x|<1 (convergência absoluta).
Em x=1 converge condicionalmente.
Em x=-1 diverge.
Logo o intervalo de convergência é (-1,1].
Resposta
Raio de convergência: 1{,}0000
Intervalo de convergência: (-1,1]