De forma analítica, utilize o método iterativo de Newton-Raphson para achar uma das raízes do seguinte polinômio,
x^{4}-21 x^{3}+147 x^{2}-379 x+252=0
Considere o erro máximo de \varepsilon=0,01 e o chute inicial x(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede uma raiz do polinômio
f(x)=x^{4}-21x^{3}+147x^{2}-379x+252
usando o método de Newton–Raphson com erro máximo \varepsilon=0,01 e chute inicial x_{0}=0.
Precisamos da derivada
f'(x)=4x^{3}-63x^{2}+294x-379
e da fórmula iterativa
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 2

Calcular x_{1} a partir de x_{0}=0.
f(0)=252,\quad f'(0)=-379
x_{1}=0-\frac{252}{-379}\approx0,6654.

Passo 3

Calcular x_{2} a partir de x_{1}\approx0,6654.
f(0,6654)\approx59,12,\quad f'(0,6654)\approx-210,13
x_{2}=0,6654-\frac{59,12}{-210,13}\approx0,9468.

Passo 4

Calcular x_{3} a partir de x_{2}\approx0,9468.
f(0,9468)\approx7,92,\quad f'(0,9468)\approx-153,75
x_{3}=0,9468-\frac{7,92}{-153,75}\approx0,9983.

Passo 5

Calcular x_{4} a partir de x_{3}\approx0,9983.
f(0,9983)\approx0,23,\quad f'(0,9983)\approx-144,30
x_{4}=0,9983-\frac{0,23}{-144,30}\approx0,9999.
A diferença \lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx0,0016<0,01, então atingimos o critério de erro.

Resposta

Uma raiz aproximada é x\approx0,9999.

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