2 Uma pessoa deve a outra a importância de $12.400,00. Para a liquidação da dívida, propõe os seguintes pagamentos: \3.500,00 ao final de 2 meses;$ 4.000,00 ao final de 5 meses; \ 1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo de 3 \% ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento.

Passo 1

O enunciado informa uma dívida inicial de 12400 que será quitada com quatro pagamentos: 3500 ao final de 2 meses, 4000 ao final de 5 meses, 1700 ao final de 7 meses e um último pagamento X ao final de 12 meses. A taxa efetiva de juros é de 3\% ao mês. Para determinar X, vamos usar a equivalência de valores acumulados no instante de 12 meses.

Passo 2

Montamos a equação de valor futuro no tempo de 12 meses, acumulando cada montante à taxa de 3\% ao mês:
12400\,(1{,}03)^{12} \;=\; 3500\,(1{,}03)^{12-2} \;+\; 4000\,(1{,}03)^{12-5} \;+\; 1700\,(1{,}03)^{12-7} \;+\; X.
Ou seja,
12400\,(1{,}03)^{12} = 3500\,(1{,}03)^{10} + 4000\,(1{,}03)^{7} + 1700\,(1{,}03)^{5} + X.

Passo 3

Calculamos o valor futuro da dívida de 12400 ao final de 12 meses:
12400\,(1{,}03)^{12} \approx 12400\times1{,}42576 = 17679{,}42.

Passo 4

Acumulamos cada pagamento até o mês 12:
3500\,(1{,}03)^{10}\approx3500\times1{,}34392=4703{,}72,
4000\,(1{,}03)^{7}\approx4000\times1{,}22987=4919{,}49,
1700\,(1{,}03)^{5}\approx1700\times1{,}15927=1970{,}76.
Somando esses montantes:
4703{,}72 + 4919{,}49 + 1970{,}76 = 11593{,}97.

Passo 5

Substituindo na equação de valor futuro e isolando X:
X = 17679{,}42 - 11593{,}97 \approx 6085{,}45.

Resposta

X \approx 6085{,}45 reais.

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