Encontre a solução do sistema
[ccc 5 & -1 & 0 -1 & 5 & -1 0 & -1 & 5 ][l x1 x2 x3 ]=[r 9 4 -6 ]
a) pelo método de Jacobi;
b) pelo método de Gauss-Seidel.
Tome x^(0)=(0,0,0) e faça as iterações até que o erro relativo seja menor que 0.02 . Compare o número de iterações necessário para cada método atingir a precisão desejada.

Passo 1

A questão pede para resolver o sistema
5 & -1 & 0 -1 & 5 & -1 0 & -1 & 5x1 x2 x3=94-6
usando os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel, com chute inicial x^(0)=(0,0,0) e critério de erro relativo menor que 0.02. Vamos usar conceitos de métodos iterativos para sistemas lineares e norma- infty para medir o erro.

Passo 2

Começamos derivando o esquema de Jacobi: isolamos cada xi em termos dos outros, sempre usando valores da iteração anterior. Assim:
x1^(k+1)=9 + x2^(k)5,
x2^(k+1)=4 + x1^(k) + x3^(k)5,
x3^(k+1)=-6 + x2^(k)5

Passo 3

Para monitorar a convergência, usamos a norma- infty e definimos o erro relativo em cada passo como
errok = |x^(k+1) - x^(k)|infty|x^(k+1)|infty

Passo 4

Agora aplicamos Jacobi até erro<0.02:
Iteração 1: x^(1)=(1.8,,0.8,,-1.2), erro = 1.
Iteração 2: x^(2)=(1.96,,0.92,,-1.04), erro ≈0.0816.
Iteração 3: x^(3)=(1.984,,0.984,,-1.016), erro ≈0.0323.
Iteração 4: x^(4)=(1.9968,,0.9936,,-1.0032), erro ≈0.0064 <0.02.

Passo 5

Agora derivamos o esquema de Gauss–Seidel: isolamos cada xi mas, dentro da mesma iteração, usamos valores já atualizados. Fica:
x1^(k+1)=9 + x2^(k)5,
x2^(k+1)=4 + x1^(k+1) + x3^(k)5,
x3^(k+1)=-6 + x2^(k+1)5

Passo 6

Aplicamos Gauss–Seidel até erro<0.02:
Iteração 1: x^(1)=(1.8,,1.16,,-0.968), erro = 1.
Iteração 2: x^(2)=(2.032,,1.0128,,-0.99744), erro ≈0.114.
Iteração 3: x^(3)=(2.00256,,1.001024,,-0.9997952), erro ≈0.0147 <0.02.

Passo 7

Comparando os métodos, Jacobi precisou de 4 iterações, enquanto Gauss–Seidel atingiu a precisão desejada em 3 iterações.

Resposta

Jacobi: xapprox(1.9968,,0.9936,,-1.0032) em 4 iterações.
Gauss–Seidel: xapprox(2.00256,,1.001024,,-0.9997952) em 3 iterações.
Gauss–Seidel converge mais rápido (3 vs. 4 iterações).

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