a) pelo método de Jacobi;
b) pelo método de Gauss-Seidel.
Tome x^(0)=(0,0,0) e faça as iterações até que o erro relativo seja menor que 0.02 . Compare o número de iterações necessário para cada método atingir a precisão desejada.
Passo 1
A questão pede para resolver o sistema
5 & -1 & 0 -1 & 5 & -1 0 & -1 & 5x1 x2 x3=94-6
usando os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel, com chute inicial x^(0)=(0,0,0) e critério de erro relativo menor que 0.02. Vamos usar conceitos de métodos iterativos para sistemas lineares e norma-infty para medir o erro.
Passo 2
Começamos derivando o esquema de Jacobi: isolamos cada xi em termos dos outros, sempre usando valores da iteração anterior. Assim:
x1^(k+1)=9 + x2^(k)5,
x2^(k+1)=4 + x1^(k) + x3^(k)5,
x3^(k+1)=-6 + x2^(k)5
Passo 3
Para monitorar a convergência, usamos a norma-infty e definimos o erro relativo em cada passo como
Comparando os métodos, Jacobi precisou de 4 iterações, enquanto Gauss–Seidel atingiu a precisão desejada em 3 iterações.
Resposta
Jacobi: xapprox(1.9968,,0.9936,,-1.0032) em 4 iterações.
Gauss–Seidel: xapprox(2.00256,,1.001024,,-0.9997952) em 3 iterações.
Gauss–Seidel converge mais rápido (3 vs. 4 iterações).