Seja alpha=max 1 <= k <= n alphak<1. Se betai <= alphai, i=1,2, ldots, n, mostre que o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
(Dica: mostre, usando indução, que .)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a matriz do sistema linear satisfaz alpha=max1<= k<= nalphak<1 com
alphak=sumj=1,jneq k^n|akj||akk|,
então o método de Gauss–Seidel gera uma sequência que converge. O conteúdo é o estudo de métodos iterativos de linha (Gauss–Seidel) e vamos precisar usar indução para comparar as somas ponderadas de erros com os alphak.

Passo 2

Começamos escrevendo a iteração de Gauss–Seidel para o erro e^(m)=x^(m)-x. Para cada componente i temos
ei^(m+1)=-1aiil(sumj=1^i-1aij,ej^(m+1)+sumj=i+1^n aij,ej^(m)r)
Tirando valor absoluto e usando desigualdade triangular, definimos
betai=1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|,betaj+sumj=i+1^n|aij|r)
de modo que
|ei^(m+1)|<= betai,|e^(m)|infty

Passo 3

Agora usamos indução sobre i=1,2,dots,n para mostrar que
betai<=alphai
Base i=1:
beta1=1|a11|sumj=2^n|a1j|=alpha1
Hipótese: suponha betaj<=alphaj para todo j.

Passo 4

Passo indutivo: para i, temos
betai=1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|,betaj+sumj=i+1^n|aij|r)
Pela hipótese indutiva betaj<=alphaj<1, segue:
sumj=1^i-1|aij|,betaj<=sumj=1^i-1|aij|,
evidenciando
betai<=1|aii|sumjneq i|aij|=alphai

Passo 5

Como obtivemos betai<=alphai<=alpha<1 para todo i, então a norma do vetor erro satisfaz
|e^(m+1)|infty<=alpha,|e^(m)|infty
Isto mostra que o método é um contração e, portanto, a sequência x^(m) converge para a solução exata.

Passo 6

Dessa forma, o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente sempre que maxkalphak<1.

Resposta

O método de Gauss–Seidel converge porque sob a condição alpha=maxkalphak<1 temos contração |e^(m+1)|infty<=alpha|e^(m)|infty, com alpha<1.

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