Seja
. Se
, mostre que o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
(Dica: mostre, usando indução, que
.)
(Dica: mostre, usando indução, que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a matriz do sistema linear satisfaz
com
então o método de Gauss–Seidel gera uma sequência que converge. O conteúdo é o estudo de métodos iterativos de linha (Gauss–Seidel) e vamos precisar usar indução para comparar as somas ponderadas de erros com os
Passo 2
Começamos escrevendo a iteração de Gauss–Seidel para o erro
. Para cada componente
temos
Tirando valor absoluto e usando desigualdade triangular, definimos
de modo que
Passo 3
Agora usamos indução sobre
para mostrar que
Base
:
Hipótese: suponha
para todo
.
Passo 4
Passo indutivo: para
, temos
Pela hipótese indutiva
, segue:
evidenciando
Passo 5
Como obtivemos
para todo
, então a norma do vetor erro satisfaz
Isto mostra que o método é um contração e, portanto, a sequência
converge para a solução exata.
Passo 6
Dessa forma, o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente sempre que
.
Resposta
O método de Gauss–Seidel converge porque sob a condição
temos contração
, com
.