Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear dado pela multiplicação da matriz pelos incógnitas igual ao vetor à direita. As informações fornecidas são:
A matriz e o vetor do lado direito são
\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 5\end{array}\right]
e
\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right].
As incógnitas são x, y e z. A pergunta é: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem esse sistema.

Passo 2

Vou representar o sistema na forma de matriz aumentada (é uma forma compacta que junta a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes). A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & -1 & 5 & 1 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação do sistema; por exemplo a primeira linha representa 1\cdot x -1\cdot y +1\cdot z = 2.]

Passo 3

Objetivo: transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou escalonada) usando operações elementares de linha, porque daí conseguimos encontrar as incógnitas por substituição regressiva (back-substitution). As operações elementares permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Vou usar essas operações para zerar os coeficientes abaixo do pivô da primeira coluna.

Passo 4

Eliminação da coluna 1 abaixo do pivô (que é 1 na primeira linha). Faço as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1 para eliminar o -1 em R_2,1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1 para eliminar o 1 em R_3,1.
Calculemos linha a linha:
Para R_2 + R_1: -1+1=0, 2+(-1)=1, 1+1=2, 5+2=7.
Para R_3 - R_1: 1-1=0, -1-(-1)=0, 5-1=4, 1-2=-1.
A matriz aumentada fica então
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora a matriz está em forma triangular superior: zeros abaixo dos pivôs nas colunas 1 e 2. Isso significa que as equações correspondentes são (lendo as linhas):
  • Linha 3: 4z = -1.
  • Linha 2: 1\cdot y + 2\cdot z = 7.
  • Linha 1: 1\cdot x - 1\cdot y + 1\cdot z = 2.
Vou resolver começando pela última equação não nula (linha 3) e substituir para cima.

Passo 6

Resolver a linha 3 para z:
4z = -1 \Rightarrow z = -\frac{1}{4}.
Explicação: isolamos z dividindo ambos os lados por 4.

Passo 7

Agora usar z na linha 2 para encontrar y. A linha 2 é y + 2z = 7. Substituindo z = -\dfrac{1}{4}:
y + 2\left(-\frac{1}{4}\right) = 7.
Calcule 2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{1}{2}. Então
y - \frac{1}{2} = 7 \Rightarrow y = 7 + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.
Portanto y = \dfrac{15}{2}.

Passo 8

Finalmente uso y e z na linha 1 para achar x. A linha 1 é x - y + z = 2. Substituindo y=\dfrac{15}{2} e z=-\dfrac{1}{4}:
x - \frac{15}{2} - \frac{1}{4} = 2.
Primeiro some -\dfrac{15}{2} - \dfrac{1}{4}. Colocando em quartoes:
-\frac{15}{2} = -\frac{30}{4},\quad -\frac{30}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{31}{4}.
Então
x - \frac{31}{4} = 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{31}{4} = \frac{8}{4} + \frac{31}{4} = \frac{39}{4}.
Logo x = \dfrac{39}{4}.

Passo 9

Vamos checar rapidamente substituindo \left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{39}{4},\dfrac{15}{2},-\dfrac{1}{4}\right) nas três equações originais para garantir que tudo fecha.
Primeira equação: 1\cdot x -1\cdot y +1\cdot z
\frac{39}{4} - \frac{15}{2} - \frac{1}{4} = \frac{39}{4} - \frac{30}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2.
Confere com o lado direito 2.
Segunda equação: -1\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z
-\frac{39}{4} + 2\cdot\frac{15}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{39}{4} + \frac{30}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{39}{4} + \frac{60}{4} - \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5.
Confere com 5.
Terceira equação: 1\cdot x -1\cdot y +5\cdot z
\frac{39}{4} - \frac{15}{2} + 5\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{39}{4} - \frac{30}{4} - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1.
Confere com 1. Tudo correto.

Resposta

x=\dfrac{39}{4}
y=\dfrac{15}{2}
z=-\dfrac{1}{4}

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