O enunciado pede para resolver o sistema linear dado pela multiplicação da matriz pelos incógnitas igual ao vetor à direita. As informações fornecidas são:
A matriz e o vetor do lado direito são
As incógnitas são x, y e z. A pergunta é: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem esse sistema.
Passo 2
Vou representar o sistema na forma de matriz aumentada (é uma forma compacta que junta a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes). A matriz aumentada inicial é
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação do sistema; por exemplo a primeira linha representa 1\cdot x -1\cdot y +1\cdot z = 2.]
Passo 3
Objetivo: transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou escalonada) usando operações elementares de linha, porque daí conseguimos encontrar as incógnitas por substituição regressiva (back-substitution). As operações elementares permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Vou usar essas operações para zerar os coeficientes abaixo do pivô da primeira coluna.
Passo 4
Eliminação da coluna 1 abaixo do pivô (que é 1 na primeira linha). Faço as operações:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1 para eliminar o -1 em R_2,1.
R_3 \leftarrow R_3 - R_1 para eliminar o 1 em R_3,1.
Calculemos linha a linha:
Para R_2 + R_1: -1+1=0, 2+(-1)=1, 1+1=2, 5+2=7.
Para R_3 - R_1: 1-1=0, -1-(-1)=0, 5-1=4, 1-2=-1.
Agora a matriz está em forma triangular superior: zeros abaixo dos pivôs nas colunas 1 e 2. Isso significa que as equações correspondentes são (lendo as linhas):
Linha 3: 4z = -1.
Linha 2: 1\cdot y + 2\cdot z = 7.
Linha 1: 1\cdot x - 1\cdot y + 1\cdot z = 2.
Vou resolver começando pela última equação não nula (linha 3) e substituir para cima.
Passo 6
Resolver a linha 3 para z:
4z = -1 \Rightarrow z = -\frac{1}{4}.
Explicação: isolamos z dividindo ambos os lados por 4.
Passo 7
Agora usar z na linha 2 para encontrar y. A linha 2 é y + 2z = 7. Substituindo z = -\dfrac{1}{4}:
y + 2\left(-\frac{1}{4}\right) = 7.
Calcule 2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{1}{2}. Então
y - \frac{1}{2} = 7 \Rightarrow y = 7 + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.
Portanto y = \dfrac{15}{2}.
Passo 8
Finalmente uso y e z na linha 1 para achar x. A linha 1 é x - y + z = 2. Substituindo y=\dfrac{15}{2} e z=-\dfrac{1}{4}:
x - \frac{15}{2} - \frac{1}{4} = 2.
Primeiro some -\dfrac{15}{2} - \dfrac{1}{4}. Colocando em quartoes:
x - \frac{31}{4} = 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{31}{4} = \frac{8}{4} + \frac{31}{4} = \frac{39}{4}.
Logo x = \dfrac{39}{4}.
Passo 9
Vamos checar rapidamente substituindo \left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{39}{4},\dfrac{15}{2},-\dfrac{1}{4}\right) nas três equações originais para garantir que tudo fecha.