Encontre a TFTD inversa de cada transformação especificada abaixo para -\pi \leq \Omega\) \(<\pi\). \(X(\Omega)= \begin{cases}1, & |\Omega|<0.2 \pi \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função de frequência discreta X(\Omega) que vale 1 para |\Omega|<0.2\pi e 0 caso contrário, e pede o sinal de tempo discreto x[n] correspondente. Vamos usar a fórmula da inversa da TFTD (Transformada de Fourier em Tempo Discreto).

Passo 2

A fórmula da inversa da TFTD é
x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)\,e^{j\Omega n}\,d\Omega.
Como X(\Omega)=1 apenas em -0.2\pi<\Omega<0.2\pi, a integral reduz a esse intervalo.

Passo 3

Para n\neq 0 temos
x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-0.2\pi}^{0.2\pi}e^{j\Omega n}\,d\Omega = \frac{1}{2\pi}\Bigl[\frac{e^{j\Omega n}}{j\,n}\Bigr]_{-0.2\pi}^{0.2\pi} = \frac{\sin(0.2\pi n)}{\pi\,n}.

Passo 4

Para n=0 a integral vira o comprimento do intervalo sobre 2\pi:
x[0] = \frac{1}{2\pi}\int_{-0.2\pi}^{0.2\pi}d\Omega = \frac{0.4\pi}{2\pi} = 0.2.

Resposta

x[n] = \begin{cases} 0.2, & n = 0,\\\ \dfrac{\sin(0.2\pi n)}{\pi\,n}, & n \neq 0. \end{cases}

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