Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}\left{f(t) \sin \omega_{0} t\right}=\frac{1}{2 j}\left[F\left(\omega-\omega_{0}\right)-F\left(\omega+\omega_{0}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade de modulação da transformada de Fourier envolvendo a multiplicação de f(t) por \sin \omega_{0}t. O conteúdo principal aqui é a definição da transformada de Fourier, sua linearidade e a propriedade de deslocamento (shifting) no domínio da frequência.

Passo 2

Usamos a representação de \sin \omega_{0}t em termos de exponenciais complexas:
\sin \omega_{0}t = \frac{e^{j\omega_{0}t} - e^{-j\omega_{0}t}}{2j}.
Logo,
f(t)\,\sin \omega_{0}t = \frac{1}{2j}\bigl(f(t)e^{j\omega_{0}t} - f(t)e^{-j\omega_{0}t}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Fourier e sua linearidade:
\mathcal{F}\{f(t)\sin \omega_{0}t\} =\frac{1}{2j}\Bigl[\mathcal{F}\{f(t)e^{j\omega_{0}t}\}-\mathcal{F}\{f(t)e^{-j\omega_{0}t}\}\Bigr].
Pela propriedade de modulação (shifting) vale
\mathcal{F}\{f(t)e^{j\omega_{0}t}\}=F(\omega-\omega_{0}), \qquad \mathcal{F}\{f(t)e^{-j\omega_{0}t}\}=F(\omega+\omega_{0}).

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão linear, obtemos
\mathcal{F}\{f(t)\sin \omega_{0}t\} =\frac{1}{2j}\bigl[F(\omega-\omega_{0}) - F(\omega+\omega_{0})\bigr].

Resposta

\mathcal{F}\bigl\{f(t)\,\sin \omega_{0}t\bigr\} =\frac{1}{2j}\bigl[F(\omega-\omega_{0}) - F(\omega+\omega_{0})\bigr].

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