Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}\left{f(t) \sin \omega_{0} t\right}=\frac{1}{2 j}\left[F\left(\omega-\omega_{0}\right)-F\left(\omega+\omega_{0}\right)\right]
\mathcal{F}\left{f(t) \sin \omega_{0} t\right}=\frac{1}{2 j}\left[F\left(\omega-\omega_{0}\right)-F\left(\omega+\omega_{0}\right)\right]
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade de modulação da transformada de Fourier envolvendo a multiplicação de
por
. O conteúdo principal aqui é a definição da transformada de Fourier, sua linearidade e a propriedade de deslocamento (shifting) no domínio da frequência.
Passo 2
Usamos a representação de
em termos de exponenciais complexas:
Logo,
Passo 3
Aplicamos a transformada de Fourier e sua linearidade:
Pela propriedade de modulação (shifting) vale
Passo 4
Substituindo esses resultados na expressão linear, obtemos