Encontre a TFTD de cada sinal fornecido abaixo. Para cada um, esboce a magnitude e a fase da transformada.
a) x[n]=(0.7)^{n} u[n]
b) x[n]=(0.7)^{n} \cos (0.2 \pi n) u[n]

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD ou DTFT) de dois sinais causais. O conteúdo é soma de séries geométricas e modulação de exponencial complexa. Vamos usar a definição
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}
e, para sinais causais, a soma começa em n=0.

Passo 2

Para x[n]=(0.7)^{n}u[n], inserimos na definição:
X_a(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{\infty}(0.7)^{n}e^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(0.7e^{-j\omega}\bigr)^{n}.
Como \lvert0.7e^{-j\omega}\rvert=0.7<1, é série geométrica de razão 0.7e^{-j\omega}, logo
X_a(e^{j\omega}) =\frac{1}{1-0.7e^{-j\omega}}.

Passo 3

Magnitude e fase de X_a(e^{j\omega}):
A magnitude é
\bigl|X_a(e^{j\omega})\bigr| =\frac{1}{\bigl|1-0.7e^{-j\omega}\bigr|} =\frac{1}{\sqrt{1-2\cdot0.7\cos\omega+0.7^{2}}}.
O gráfico de \bigl|X_a(e^{j\omega})\bigr| é máximo em \omega=0 e decai suavemente ao longo de \omega\in[-\pi,\pi].
A fase é
\angle X_a(e^{j\omega}) =-\angle\bigl(1-0.7e^{-j\omega}\bigr) =-\tan^{-1}\!\frac{-0.7\sin\omega}{1-0.7\cos\omega}.
Esse fase é zero em \omega=0, decresce para valores negativos conforme \omega se afasta de zero.

Passo 4

Para x[n]=(0.7)^{n}\cos(0.2\pi n)u[n], usamos a identidade \cos\theta=\tfrac12(e^{j\theta}+e^{-j\theta}):
x[n] =\frac12(0.7)^{n}\bigl(e^{j0.2\pi n}+e^{-j0.2\pi n}\bigr)u[n].
Assim a DTFT é
X_b(e^{j\omega}) =\frac12\sum_{n=0}^{\infty}(0.7)^{n}e^{-j(\omega-0.2\pi)n} +\frac12\sum_{n=0}^{\infty}(0.7)^{n}e^{-j(\omega+0.2\pi)n}.
Cada soma é geométrica, dando
X_b(e^{j\omega}) =\frac12\frac{1}{1-0.7e^{-j(\omega-0.2\pi)}} +\frac12\frac{1}{1-0.7e^{-j(\omega+0.2\pi)}}.

Passo 5

Magnitude e fase de X_b(e^{j\omega}):
A magnitude é soma de dois “pólos” deslocados:
\bigl|X_b(e^{j\omega})\bigr| =\frac12\Biggl( \frac{1}{\bigl|1-0.7e^{-j(\omega-0.2\pi)}\bigr|} +\frac{1}{\bigl|1-0.7e^{-j(\omega+0.2\pi)}\bigr|} \Biggr).
Ela apresenta dois picos em \omega=0.2\pi e em \omega=-0.2\pi, com forma semelhante ao caso (a).
A fase é
\angle X_b(e^{j\omega}) =\arg\Bigl[\tfrac12(1-0.7e^{-j(\omega-0.2\pi)})^{-1} +\tfrac12(1-0.7e^{-j(\omega+0.2\pi)})^{-1}\Bigr],
variando rapidamente ao redor de \omega=\pm0.2\pi.

Resposta

a)
X_a(e^{j\omega}) =\frac{1}{1-0.7e^{-j\omega}}, \quad \bigl|X_a(e^{j\omega})\bigr| =\frac{1}{\sqrt{1-1.4\cos\omega+0.49}}, \quad \angle X_a(e^{j\omega}) =-\tan^{-1}\!\frac{-0.7\sin\omega}{1-0.7\cos\omega}. b)
X_b(e^{j\omega}) =\frac12\frac{1}{1-0.7e^{-j(\omega-0.2\pi)}} +\frac12\frac{1}{1-0.7e^{-j(\omega+0.2\pi)}},
com magnitude exibindo picos em \omega=\pm0.2\pi e fase que se inclina em torno desses pontos.

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