Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(f) u_{x x}-4 u_{x y}+4 u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a EDP
u_{xx}-4\,u_{xy}+4\,u_{yy}=0
quanto ao tipo (hiperbólica, parabólica ou elíptica) e, sendo parabolica ou hiperbólica, levá-la à forma normal por mudança de variáveis e resolver. O conteúdo aqui é classificação de EDP de segunda ordem com coeficientes constantes, mudança para coordenadas características e solução da forma canônica.

Passo 2

Para classificar usamos a forma geral
A\,u_{xx}+2B\,u_{xy}+C\,u_{yy}=0,
onde aqui A=1, 2B=-4 (logo B=-2) e C=4. Calculamos o discriminante
\Delta = B^2 - A\,C = (-2)^2 - 1\cdot 4 = 4 - 4 = 0.
Como \Delta=0, a EDP é de tipo parabolico.

Passo 3

Para a forma canônica buscamos a única direção característica real, dada por
\frac{dy}{dx} = \frac{B}{A} = \frac{-2}{1} = -2.
Integramos essa reta característica:
dy + 2\,dx = 0 \quad\Longrightarrow\quad y+2x = \eta = \text{constante}.

Passo 4

Escolhemos as novas variáveis
\eta = y + 2x, \quad \xi = x,
que garantem independência entre \xi e \eta. Vamos reescrever as derivadas:
u_x = u_\xi\,\xi_x + u_\eta\,\eta_x = u_\xi + 2\,u_\eta, \quad u_y = u_\xi\,\xi_y + u_\eta\,\eta_y = 0 + 1\cdot u_\eta = u_\eta.
Derivando de novo:
u_{xx} = (u_\xi + 2u_\eta)_x = u_{\xi\xi} + 4u_{\xi\eta} +4u_{\eta\eta},
u_{xy} = (u_\xi + 2u_\eta)_y = u_{\xi\eta} + 2u_{\eta\eta}, \quad u_{yy} = u_{\eta\eta}.

Passo 5

Substituindo na EDP original:
u_{xx}-4u_{xy}+4u_{yy} = \bigl(u_{\xi\xi}+4u_{\xi\eta}+4u_{\eta\eta}\bigr) -4\bigl(u_{\xi\eta}+2u_{\eta\eta}\bigr) +4\,u_{\eta\eta} = u_{\xi\xi}.
Logo a EDP em coordenadas (\xi,\eta) fica
u_{\xi\xi}=0,
que é a forma normal canônica.

Passo 6

Integramos duas vezes em \xi:
u_{\xi\xi}=0 \quad\Longrightarrow\quad u(\xi,\eta) = F(\eta)\,\xi + G(\eta),
onde F e G são funções arbitrárias de \eta.

Resposta

Voltando a (x,y) com \xi=x e \eta=y+2x, a solução geral é
\boxed{u(x,y)=x\,F\bigl(y+2x\bigr)\;+\;G\bigl(y+2x\bigr),}
onde F e G são funções arbitrárias de uma variável.

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