Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(h) u_{x x}-4 u_{x y}+3 u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a PDE
u_{xx} - 4\,u_{xy} + 3\,u_{yy} = 0
como elíptica, parabólica ou hiperbólica e, sendo hiperbólica ou parabólica, levá-la à forma normal por mudança de variáveis e resolver.

Passo 2

Comparando com
A\,u_{xx} + 2B\,u_{xy} + C\,u_{yy},
vemos A=1, 2B=-4\implies B=-2, C=3. O discriminante é
\Delta = B^2 - A\,C = (-2)^2 - 1\cdot3 = 4 - 3 = 1 > 0,
logo é uma EDP hiperbólica.

Passo 3

As curvas características vêm de
A\,\lambda^2 - 2B\,\lambda + C = 0,
onde \lambda = \tfrac{dy}{dx}. Substituindo A=1, B=-2, C=3 obtém-se
\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = -1,\;\lambda_2 = -3.
Integramos
\frac{dy}{dx} = -1 \quad\Rightarrow\quad y + x = s, \qquad \frac{dy}{dx} = -3 \quad\Rightarrow\quad y + 3x = t.

Passo 4

Definindo U(s,t)=u(x,y), temos
\partial_x = \partial_s\cdot s_x + \partial_t\cdot t_x = \partial_s + 3\,\partial_t,
\partial_y = \partial_s\cdot s_y + \partial_t\cdot t_y = \partial_s + \partial_t.
Calculando u_{xx},u_{xy},u_{yy} em termos de U_{ss},U_{st},U_{tt} e substituindo em
u_{xx} - 4\,u_{xy} + 3\,u_{yy}
chega-se à forma normal
U_{st} = 0.

Passo 5

A equação U_{st}=0 integra-se imediatamente em
U(s,t) = F(s) + G(t),
onde F e G são funções arbitrárias. Voltando a (x,y),
u(x,y) = F(y + x) + G(y + 3x).

Resposta

A equação é hiperbólica. Com a mudança de variáveis
s = x + y,\quad t = 3x + y
obtém-se a forma normal
U_{st} = 0
e a solução geral
u(x,y) = F(x+y) + G(3x+y).

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