Encontre todas as raízes de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}-7.223 \mathrm{x}^{3}+13.447 \mathrm{x}^{2}-0.672 \mathrm{x}-10.223. Lembre-se de estimar o intervalo que contém as raízes, assim como identificar onde elas se encontram.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as raízes da função
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}-7.223\,\mathrm{x}^{3}+13.447\,\mathrm{x}^{2}-0.672\,\mathrm{x}-10.223,
estimando um intervalo que contém cada raiz e identificando onde elas se encontram.
Informações dadas (a própria função):
  • A função é um polinômio de grau 4 com coeficientes reais.
  • Preciso listar intervalos que contenham todas as raízes reais e, em seguida, aproximá-las.

Passo 2

Como vamos proceder (resumo do método que vou aplicar passo a passo):
  • Vou calcular \mathrm{f}(x) em vários pontos inteiros e seminteiros para localizar mudanças de sinal. Uma mudança de sinal entre a e b garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz real em (a,b).
  • Depois vou refinar cada intervalo por bisseção (dividindo o intervalo ao meio sucessivas vezes) até obter uma aproximação satisfatória da raiz.
    Agora vou começar a avaliar a função em pontos bem escolhidos para encontrar os intervalos iniciais.

Passo 3

Avaliações iniciais para localizar alterações de sinal (cada cálculo abaixo é direto substituindo x na expressão de \mathrm{f}):
\begin{aligned} \mathrm{f}(0)&=-10{,}223,\\[4pt] \mathrm{f}(1)&=1-7{,}223+13{,}447-0{,}672-10{,}223=-3{,}671,\\[4pt] \mathrm{f}(2)&=16-57{,}784+53{,}788-1{,}344-10{,}223}\approx0{,}437,\\[4pt] \mathrm{f}(3)&=81-195{,}021+121{,}023-2{,}016-10{,}223}\approx-5{,}237,\\[4pt] \mathrm{f}(4)&=256-462{,}272+215{,}152-2{,}688-10{,}223}\approx-4{,}031,\\[4pt] \mathrm{f}(5)&=625-902{,}875+336{,}175-3{,}36-10{,}223}\approx44{,}717,\\[4pt] \mathrm{f}(-1)&=1+7{,}223+13{,}447+0{,}672-10{,}223}\approx12{,}119. \end{aligned}
Observando os sinais:
  • \mathrm{f}(-1)>0 e \mathrm{f}(0)<0 \Rightarrow existe uma raiz em (-1,0).
  • \mathrm{f}(1)<0 e \mathrm{f}(2)>0 \Rightarrow existe uma raiz em (1,2).
  • \mathrm{f}(2)>0 e \mathrm{f}(3)<0 \Rightarrow existe uma raiz em (2,3).
  • \mathrm{f}(4)<0 e \mathrm{f}(5)>0 \Rightarrow existe uma raiz em (4,5).
Como o polinômio é de grau 4 com coeficientes reais, o número total de raízes reais deve ser 0, 2 ou 4; aqui encontramos quatro intervalos com mudança de sinal, portanto há quatro raízes reais distintas, uma em cada um desses intervalos. Agora vou refinar cada intervalo usando bisseção.]

Passo 4

Refinamento da raiz em (-1,0) por bisseção (alguns passos mostrados, aproximando até cerca de 4 casas decimais):
  1. Valores iniciais: a=-1, b=0, \mathrm{f}(a)\approx12{,}119>0, \mathrm{f}(b)\approx-10{,}223<0.
  2. m=-0{,}5. Calculei \mathrm{f}(-0{,}5)\approx-5{,}5599 (negativo) ⇒ raiz em (-1,-0{,}5).
  3. m=-0{,}75. \mathrm{f}(-0{,}75)\approx+1{,}2085 (positivo) ⇒ raiz em (-0{,}75,-0{,}5).
  4. m=-0{,}625. \mathrm{f}(-0{,}625)\approx-2{,}6342 (negativo) ⇒ raiz em (-0{,}75,-0{,}625).
  5. m=-0{,}6875. \mathrm{f}(-0{,}6875)\approx-0{,}8355 (negativo) ⇒ raiz em (-0{,}75,-0{,}6875).
  6. m=-0{,}71875. \mathrm{f}(-0{,}71875)\approx+0{,}1608 (positivo) ⇒ raiz em (-0{,}71875,-0{,}6875).
  7. m=-0{,}703125. \mathrm{f}(-0{,}703125)\approx-0{,}3490 (negativo) ⇒ raiz em (-0{,}71875,-0{,}703125).
  8. m=-0{,}7109375. \mathrm{f}(-0{,}7109375)\approx-0{,}10059 (negativo) ⇒ raiz em (-0{,}71875,-0{,}7109375).
  9. m=-0{,}71484375. \mathrm{f}(-0{,}71484375)\approx+0{,}018225 (positivo) ⇒ raiz em (-0{,}71484375,-0{,}7109375).
A partir dos passos acima, a raiz está em (-0{,}71484375,\,-0{,}7109375). Aplicando uma interpolação linear simples entre os últimos valores x_1=-0{,}71484375 com \mathrm{f}(x_1)\approx+0{,}018225 e x_2=-0{,}7109375 com \mathrm{f}(x_2)\approx-0{,}10059, obtenho a aproximação
x \approx -0{,}71424.
Portanto a primeira raiz está aproximadamente em \,x\approx-0{,}71424.

Passo 5

Refinamento da raiz em (1,2) por bisseção (passos principais):
  1. \mathrm{f}(1)\approx-3{,}671, \mathrm{f}(2)\approx0{,}437 ⇒ raiz em (1,2).
  2. m=1{,}5. \mathrm{f}(1{,}5)\approx-0{,}2971 (negativo) ⇒ raiz em (1{,}5,2).
  3. m=1{,}625. \mathrm{f}(1{,}625)\approx+0{,}17868 (positivo) ⇒ raiz em (1{,}5,1{,}625).
  4. m=1{,}5625. \mathrm{f}(1{,}5625)\approx-0{,}0399 (negativo) ⇒ raiz em (1{,}5625,1{,}625).
  5. m=1{,}59375. \mathrm{f}(1{,}59375)\approx+0{,}041 (positivo) ⇒ raiz em (1{,}5625,1{,}59375).
Agora uso interpolação linear entre x_1=1{,}5625 com \mathrm{f}(x_1)\approx-0{,}0399 e x_2=1{,}59375 com \mathrm{f}(x_2)\approx+0{,}041:
x \approx 1{,}5625 + \frac{0{,}0399}{0{,}0399+0{,}041}\cdot(1{,}59375-1{,}5625)\approx1{,}5779.
Portanto a segunda raiz está aproximadamente em \,x\approx1{,}5779.

Passo 6

Refinamento da raiz em (2,3) por bisseção (passos principais):
  1. \mathrm{f}(2)\approx0{,}437, \mathrm{f}(3)\approx-5{,}237 ⇒ raiz em (2,3).
  2. m=2{,}5. \mathrm{f}(2{,}5)\approx-1{,}6561 (negativo) ⇒ raiz em (2,2{,}5).
  3. m=2{,}25. \mathrm{f}(2{,}25)\approx-0{,}3057 (negativo) ⇒ raiz em (2,2{,}25).
  4. m=2{,}125. \mathrm{f}(2{,}125)\approx+0{,}089 (positivo) ⇒ raiz em (2{,}125,2{,}25).
  5. m=2{,}1875. \mathrm{f}(2{,}1875)\approx-0{,}025 (negativo) ⇒ raiz em (2{,}125,2{,}1875).
  6. m=2{,}15625. \mathrm{f}(2{,}15625)\approx+0{,}077 (positivo) ⇒ raiz em (2{,}15625,2{,}1875).
Interpolando linearmente entre x_1=2{,}15625 com \mathrm{f}(x_1)\approx+0{,}077 e x_2=2{,}1875 com \mathrm{f}(x_2)\approx-0{,}025, obtenho
x \approx 2{,}15625 + \frac{0{,}077}{0{,}077+0{,}025}\cdot(2{,}1875-2{,}15625)\approx2{,}1798.
Logo a terceira raiz está aproximadamente em \,x\approx2{,}1798.

Passo 7

Refinamento da raiz em (4,5) por bisseção (passos principais):
  1. \mathrm{f}(4)\approx-4{,}031, \mathrm{f}(5)\approx44{,}717 ⇒ raiz em (4,5).
  2. m=4{,}5. \mathrm{f}(4{,}5)\approx+10{,}8075 (positivo) ⇒ raiz em (4,4{,}5).
  3. m=4{,}25. \mathrm{f}(4{,}25)\approx+1{,}061 (positivo) ⇒ raiz em (4,4{,}25).
  4. m=4{,}125. \mathrm{f}(4{,}125)\approx-1{,}574 (negativo) ⇒ raiz em (4{,}125,4{,}25).
  5. m=4{,}1875. \mathrm{f}(4{,}1875)\approx-0{,}166 (negativo) ⇒ raiz em (4{,}1875,4{,}25).
Interpolando entre x_1=4{,}1875 com \mathrm{f}(x_1)\approx-0{,}166 e x_2=4{,}25 com \mathrm{f}(x_2)\approx+1{,}061, tenho
x \approx 4{,}1875 + \frac{0{,}166}{0{,}166+1{,}061}\cdot(4{,}25-4{,}1875)\approx4{,}1960.
Assim, a quarta raiz está aproximadamente em \,x\approx4{,}1960.

Passo 8

Resumo didático rápido do que fiz e porquê (ponto pedagógico):
  • Usei o Teorema do Valor Intermediário: se \mathrm{f} é contínua num intervalo [a,b] e \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(b) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (a,b). Polinômios são contínuos, então essa técnica funciona.
  • A bisseção é um método simples e robusto: em cada passo divide-se o intervalo ao meio e escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal; isso garante convergência linear para a raiz.
  • Para acelerar um pouco eu usei interpolação linear simples entre os extremos finais do intervalo para estimar o ponto zero (uma forma rudimentar de aproximação).

Resposta

-0{,}71424
1{,}5779
2{,}1798
4{,}1960

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