Encontre todas as raízes de
. Lembre-se de estimar o intervalo que contém as raízes, assim como identificar onde elas se encontram.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as raízes da função
estimando um intervalo que contém cada raiz e identificando onde elas se encontram.
Informações dadas (a própria função):
Informações dadas (a própria função):
- A função é um polinômio de grau 4 com coeficientes reais.
- Preciso listar intervalos que contenham todas as raízes reais e, em seguida, aproximá-las.
Passo 2
Como vamos proceder (resumo do método que vou aplicar passo a passo):
- Vou calcular
em vários pontos inteiros e seminteiros para localizar mudanças de sinal. Uma mudança de sinal entre e garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz real em . - Depois vou refinar cada intervalo por bisseção (dividindo o intervalo ao meio sucessivas vezes) até obter uma aproximação satisfatória da raiz.
Agora vou começar a avaliar a função em pontos bem escolhidos para encontrar os intervalos iniciais.
Passo 3
Avaliações iniciais para localizar alterações de sinal (cada cálculo abaixo é direto substituindo
na expressão de
):
Observando os sinais:
-
e existe uma raiz em . -
e existe uma raiz em . -
e existe uma raiz em . -
e existe uma raiz em .
Como o polinômio é de grau 4 com coeficientes reais, o número total de raízes reais deve ser 0, 2 ou 4; aqui encontramos quatro intervalos com mudança de sinal, portanto há quatro raízes reais distintas, uma em cada um desses intervalos. Agora vou refinar cada intervalo usando bisseção.]
Passo 4
Refinamento da raiz em
por bisseção (alguns passos mostrados, aproximando até cerca de
casas decimais):
- Valores iniciais:
, , , . -
. Calculei (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em .
A partir dos passos acima, a raiz está em
. Aplicando uma interpolação linear simples entre os últimos valores
com
e
com
, obtenho a aproximação
Portanto a primeira raiz está aproximadamente em
.
Passo 5
Refinamento da raiz em
por bisseção (passos principais):
-
, ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em .
Agora uso interpolação linear entre
com
e
com
:
Portanto a segunda raiz está aproximadamente em
.
Passo 6
Refinamento da raiz em
por bisseção (passos principais):
-
, ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em .
Interpolando linearmente entre
com
e
com
, obtenho
Logo a terceira raiz está aproximadamente em
.
Passo 7
Refinamento da raiz em
por bisseção (passos principais):
-
, ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em . -
. (positivo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em . -
. (negativo) ⇒ raiz em .
Interpolando entre
com
e
com
, tenho
Assim, a quarta raiz está aproximadamente em
.
Passo 8
Resumo didático rápido do que fiz e porquê (ponto pedagógico):
- Usei o Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em . Polinômios são contínuos, então essa técnica funciona. - A bisseção é um método simples e robusto: em cada passo divide-se o intervalo ao meio e escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal; isso garante convergência linear para a raiz.
- Para acelerar um pouco eu usei interpolação linear simples entre os extremos finais do intervalo para estimar o ponto zero (uma forma rudimentar de aproximação).