possui uma raiz
. Use o método de Newton com aproximação inicial
para tentar encontrar a raiz. O que acontece?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e afirma que
é uma raiz. Pede-se aplicar o método de Newton com aproximação inicial
e observar o que acontece.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Polinômio e coeficientes dados (já escritos acima).
- Raiz conhecida:
. - Ponto inicial para Newton:
.
Passo 2
Lembrete didático sobre o método de Newton (passo-a-passo e fórmulas):
- A iteração de Newton para achar raízes de
é dada por
- Aqui
é a derivada de em relação a . A ideia é aproximar por sua reta tangente em e usar a interseção dessa tangente com o eixo como próxima aproximação. - Atenção importante (dica de prova): se
for muito pequeno, o quociente pode ser grande e o método pode dar um salto grande, às vezes fugindo para outra raiz ou divergir. Isso é exatamente algo para checar quando o método se comporta de forma estranha.
Passo 3
Calcular
e avaliar
e
em
.
Primeiro a derivada:
Primeiro a derivada:
Agora calcular
. Faça passo a passo (todos os valores em decimal):
Somando:
Agrupando convenientemente:
Logo
Agora
:
Portanto
Observe que
é muito pequeno (próximo de zero). Isso já é um sinal de que o passo de Newton pode ser grande.
Passo 4
Aplicar a fórmula de Newton para obter
:
Calcule o quociente:
Logo
Passo 5
Verificar
(para ver se chegamos numa raiz):
Somando:
Portanto
: chegámos exatamente numa raiz em uma única iteração.
Passo 6
Interpretação didática e conclusão para a prova (o que aprender aqui):
- Resultado prático: começando em
, a iteração de Newton salta para , e é uma raiz exata de . Assim, o método convergiu para , não para . - Por que isso aconteceu: em
a derivada é muito pequena, o que faz o passo ser relativamente grande (aqui ). Por isso o método saltou para o outro lado, atingindo outra raiz próxima. Em provas, sempre verifique se é pequeno — nesse caso é um alerta para possível comportamento inesperado do método de Newton. - Dicas práticas para a prova: se
for muito pequeno, considere trocar , usar um fator de relaxamento (damping) com , ou aplicar um método robusto (bissecção/false position) até estar numa região segura.
Resposta
O método, a partir de
, produz
e converge para a raiz
(não para
); o salto ocorre porque
é muito pequeno.