\mathrm{P}(\mathrm{x})=10 \mathrm{x}^{3}-8.3 \mathrm{x}^{2}+2.295 \mathrm{x}-0.21141 possui uma raiz \mathrm{x}=0.29. Use o método de Newton com aproximação inicial \mathrm{x}_{0}=0.28 para tentar encontrar a raiz. O que acontece?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=10x^{3}-8{,}3x^{2}+2{,}295x-0{,}21141
e afirma que x=0{,}29 é uma raiz. Pede-se aplicar o método de Newton com aproximação inicial x_{0}=0{,}28 e observar o que acontece.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Polinômio e coeficientes dados (já escritos acima).
  • Raiz conhecida: x=0{,}29.
  • Ponto inicial para Newton: x_{0}=0{,}28.

Passo 2

Lembrete didático sobre o método de Newton (passo-a-passo e fórmulas):
  • A iteração de Newton para achar raízes de P(x) é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{P(x_{n})}{P'(x_{n})}.
  • Aqui P'(x) é a derivada de P em relação a x. A ideia é aproximar P(x) por sua reta tangente em x_n e usar a interseção dessa tangente com o eixo x como próxima aproximação.
  • Atenção importante (dica de prova): se P'(x_n) for muito pequeno, o quociente \dfrac{P(x_n)}{P'(x_n)} pode ser grande e o método pode dar um salto grande, às vezes fugindo para outra raiz ou divergir. Isso é exatamente algo para checar quando o método se comporta de forma estranha.

Passo 3

Calcular P'(x) e avaliar P e P' em x_{0}=0{,}28.
Primeiro a derivada:
P'(x)=30x^{2}-16{,}6x+2{,}295.
Agora calcular P(0{,}28). Faça passo a passo (todos os valores em decimal):
(0{,}28)^{2}=0{,}0784,\qquad (0{,}28)^{3}=0{,}021952.
10(0{,}28)^{3}=0{,}21952, \qquad -8{,}3(0{,}28)^{2}=-0{,}65072, \qquad 2{,}295\cdot0{,}28=0{,}6426.
Somando:
P(0{,}28)=0{,}21952-0{,}65072+0{,}6426-0{,}21141.
Agrupando convenientemente:
0{,}21952-0{,}65072=-0{,}43120,
-0{,}43120+0{,}6426=0{,}21140,
0{,}21140-0{,}21141=-0{,}00001.
Logo
P(0{,}28)=-0{,}00001.
Agora P'(0{,}28):
30(0{,}28)^{2}=30\cdot0{,}0784=2{,}352,
-16{,}6\cdot0{,}28=-4{,}648,
P'(0{,}28)=2{,}352-4{,}648+2{,}295.
2{,}352+2{,}295=4{,}647,
4{,}647-4{,}648=-0{,}001.
Portanto
P'(0{,}28)=-0{,}001.
Observe que P'(0{,}28) é muito pequeno (próximo de zero). Isso já é um sinal de que o passo de Newton pode ser grande.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Newton para obter x_{1}:
x_{1}=x_{0}-\frac{P(x_{0})}{P'(x_{0})}=0{,}28-\frac{-0{,}00001}{-0{,}001}.
Calcule o quociente:
\frac{-0{,}00001}{-0{,}001}=\frac{0{,}00001}{0{,}001}=0{,}01.
Logo
x_{1}=0{,}28-0{,}01=0{,}27.

Passo 5

Verificar P(0{,}27) (para ver se chegamos numa raiz):
(0{,}27)^{2}=0{,}0729,\qquad(0{,}27)^{3}=0{,}019683,
10(0{,}27)^{3}=0{,}19683, \qquad -8{,}3(0{,}27)^{2}=-0{,}60507, \qquad 2{,}295\cdot0{,}27=0{,}61965.
Somando:
P(0{,}27)=0{,}19683-0{,}60507+0{,}61965-0{,}21141.
0{,}19683-0{,}60507=-0{,}40824,
-0{,}40824+0{,}61965=0{,}21141,
0{,}21141-0{,}21141=0.
Portanto P(0{,}27)=0: chegámos exatamente numa raiz em uma única iteração.

Passo 6

Interpretação didática e conclusão para a prova (o que aprender aqui):
  • Resultado prático: começando em x_{0}=0{,}28, a iteração de Newton salta para x_{1}=0{,}27, e x_{1} é uma raiz exata de P. Assim, o método convergiu para x=0{,}27, não para x=0{,}29.
  • Por que isso aconteceu: em x_{0}=0{,}28 a derivada P'(0{,}28) é muito pequena, o que faz o passo -P(x_{0})/P'(x_{0}) ser relativamente grande (aqui 0{,}01). Por isso o método saltou para o outro lado, atingindo outra raiz próxima. Em provas, sempre verifique se P'(x_{0}) é pequeno — nesse caso é um alerta para possível comportamento inesperado do método de Newton.
  • Dicas práticas para a prova: se P'(x_{0}) for muito pequeno, considere trocar x_{0}, usar um fator de relaxamento (damping) x_{n+1}=x_n - \lambda P(x_n)/P'(x_n) com 0<\lambda<1, ou aplicar um método robusto (bissecção/false position) até estar numa região segura.

Resposta

O método, a partir de x_{0}=0{,}28, produz x_{1}=0{,}27 e converge para a raiz x=0{,}27 (não para 0{,}29); o salto ocorre porque P'(0{,}28) é muito pequeno.

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