Encontre aproximações com precisão de 10^{-4} de todos os zeros reais de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3} -2 x^{2}-5 usando o método da iteração linear.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar aproximações, com precisão 10^{-4}, de todos os zeros reais da função
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
Informações relevantes dadas / que extraí do enunciado:
  • A função f é um polinômio cúbico; portanto tem pelo menos uma raiz real.
  • É preciso usar o método da iteração linear (iteração de ponto fixo), ou seja, escolher uma função g tal que as raízes de f sejam pontos fixos de g e iterar
x_{n+1}=g(x_n)
até obter aproximação com erro menor que 10^{-4}.
  • O objetivo final é fornecer a(s) raiz(es) reais aproximadas com erro absoluto menor que 10^{-4}.

Passo 2

Escolha de uma forma de iteração g(x).
Queremos reescrever f(x)=0 como x=g(x). Uma rearrumação natural é isolar x a partir de x^{3}=2x^{2}+5, obtendo
x = \bigl(2x^{2}+5\bigr)^{1/3}.
Logo definimos
g(x)=\bigl(2x^{2}+5\bigr)^{1/3}.
Esta escolha é conveniente porque é simples, preserva sinal positivo para x>0 e costuma convergir para a raiz positiva do polinômio (se existirem condições de contração na vizinhança da raiz).

Passo 3

Critério de convergência (Banach / contração) e verificação local.
Teorema (forma prática): se g for contínua e diferenciável num intervalo I, e existir k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k para todo x\in I, então g é uma contração em I e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para o ponto fixo único em I a partir de qualquer x_0\in I.
Calculamos a derivada de g. Usando regra da cadeia:
g'(x)=\frac{1}{3}\bigl(2x^{2}+5\bigr)^{-2/3}\cdot 4x=\frac{4x}{3\bigl(2x^{2}+5\bigr)^{2/3}}.
Agora precisamos verificar que |g'(x)|<1 numa vizinhança que contenha a raiz. Observando o comportamento de f podemos localizar a raiz real positiva: f(2)=-5, f(3)=4, logo há uma raiz entre 2 e 3. Tomemos um intervalo seguro que contenha a raiz, por exemplo I=[2{,}6,\,2{,}8].
Avaliação de g' nas extremidades (apenas valores numéricos para obter um k):
  • Para x=2{,}6: 2x^{2}+5=18{,}52. Assim
|g'(2{,}6)|\approx \frac{4\cdot 2{,}6}{3\cdot(18{,}52)^{2/3}}\approx 0{,}4954.
  • Para x=2{,}8: 2x^{2}+5=20{,}68. Assim
|g'(2{,}8)|\approx \frac{4\cdot 2{,}8}{3\cdot(20{,}68)^{2/3}}\approx 0{,}4956.
No intervalo I obtém-se um máximo aproximadamente k\approx 0{,}496<1. Logo g é uma contração em I e a iteração converge para o único ponto fixo em I, que é a raiz real positiva de f.
Observação prática: como k\approx 0{,}496, a convergência é linear e a razão de contração é cerca de 0{,}5 (a cada passo o erro tende a reduzir-se pela metade aproximadamente).

Passo 4

Critério de parada e estimativa do erro.
Uma desigualdade útil para iteração de ponto fixo com constante de contração k é
|r-x_{n+1}|\le \frac{k}{1-k}\,|x_{n+1}-x_n|,
onde r é o ponto fixo (a raiz). Assim, se conseguirmos garantir
|x_{n+1}-x_n|<\frac{1-k}{k}\,\varepsilon,
então teremos |r-x_{n+1}|<\varepsilon. No nosso caso queremos \varepsilon=10^{-4} e k\approx 0{,}496, então
\frac{1-k}{k}\approx\frac{0{,}504}{0{,}496}\approx 1{,}016.
Portanto um teste simples e seguro é parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-4} (isto é ainda mais restritivo que a condição teórica aproximada), pois com k\approx0{,}496 isto já garante |r-x_{n+1}|<10^{-4} (ver cálculo no próximo passo).

Passo 5

Escolha de x_0 e início das iterações.
Escolho x_0=2{,}7 (um chute bem no meio do intervalo [2,3]). A iteração é
x_{n+1}=g(x_n)=\bigl(2x_n^{2}+5\bigr)^{1/3}.
Vou calcular os x_n até que |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}. Apresento os cálculos aproximados (apenas aritmética direta: calcular 2x_n^2+5 e extrair a raiz cúbica).
Cálculos (aproximações decimais com 6 casas significativas onde necessário):
  • x_0=2{,}700000.
  • x_1=g(x_0)=\bigl(2(2{,}7)^2+5\bigr)^{1/3}=\bigl(19{,}58\bigr)^{1/3}\approx 2{,}695336.
  • x_2=g(x_1)=\bigl(2(2{,}695336)^2+5\bigr)^{1/3}\approx 2{,}692914.
  • x_3=g(x_2)=\bigl(2(2{,}692914)^2+5\bigr)^{1/3}\approx 2{,}691780.
  • x_4=g(x_3)=\bigl(2(2{,}691780)^2+5\bigr)^{1/3}\approx 2{,}691214.
  • x_5=g(x_4)=\bigl(2(2{,}691214)^2+5\bigr)^{1/3}\approx 2{,}690933.
  • x_6=g(x_5)=\bigl(2(2{,}690933)^2+5\bigr)^{1/3}\approx 2{,}690794.
  • x_7=g(x_6)=\bigl(2(2{,}690794)^2+5\bigr)^{1/3}\approx 2{,}690724.
Agora as diferenças entre iterações:
  • |x_1-x_0|\approx 0{,}004664.
  • |x_2-x_1|\approx 0{,}002422.
  • |x_3-x_2|\approx 0{,}001134.
  • |x_4-x_3|\approx 0{,}000566.
  • |x_5-x_4|\approx 0{,}000281.
  • |x_6-x_5|\approx 0{,}000139.
  • |x_7-x_6|\approx 0{,}000070.
Veja que em n=7 temos |x_7-x_6|\approx 7{,}0\times10^{-5}<10^{-4}. Portanto a condição de parada foi satisfeita.

Passo 6

Estimativa rigorosa do erro final (garantia de 10^{-4}).
Usamos a desigualdade
|r-x_{7}|\le \frac{k}{1-k}\,|x_{7}-x_{6}|.
Com k\approx 0{,}496 e |x_{7}-x_{6}|\approx 7{,}0\times10^{-5} obtemos
|r-x_{7}|\lesssim \frac{0{,}496}{0{,}504}\cdot 7{,}0\times10^{-5}\approx 0{,}984\cdot7{,}0\times10^{-5}\approx 6{,}9\times10^{-5}<10^{-4}.
Portanto x_7 difere da raiz verdadeira r por menos de 10^{-4}. Podemos então tomar x_7 como aproximação com a precisão requerida.
Arredondando x_7 com 4 casas decimais (ou simplesmente dando um valor cuja diferença para a raiz é menor que 10^{-4}), obtemos a aproximação final.

Resposta

2,6907

Exercícios relacionados