Encontre aproximações com precisão de
de todos os zeros reais de
usando o método da iteração linear.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar aproximações, com precisão
, de todos os zeros reais da função
Informações relevantes dadas / que extraí do enunciado:
- A função
é um polinômio cúbico; portanto tem pelo menos uma raiz real. - É preciso usar o método da iteração linear (iteração de ponto fixo), ou seja, escolher uma função
tal que as raízes de sejam pontos fixos de e iterar
até obter aproximação com erro menor que
.
- O objetivo final é fornecer a(s) raiz(es) reais aproximadas com erro absoluto menor que
.
Passo 2
Escolha de uma forma de iteração
.
Queremos reescrever
como
. Uma rearrumação natural é isolar
a partir de
, obtendo
Logo definimos
Esta escolha é conveniente porque é simples, preserva sinal positivo para
e costuma convergir para a raiz positiva do polinômio (se existirem condições de contração na vizinhança da raiz).
Passo 3
Critério de convergência (Banach / contração) e verificação local.
Teorema (forma prática): se
for contínua e diferenciável num intervalo
, e existir
tal que
para todo
, então
é uma contração em
e a iteração
converge para o ponto fixo único em
a partir de qualquer
.
Calculamos a derivada de
. Usando regra da cadeia:
Agora precisamos verificar que
numa vizinhança que contenha a raiz. Observando o comportamento de
podemos localizar a raiz real positiva:
,
, logo há uma raiz entre
e
. Tomemos um intervalo seguro que contenha a raiz, por exemplo
.
Avaliação de
nas extremidades (apenas valores numéricos para obter um
):
- Para
: . Assim
- Para
: . Assim
No intervalo
obtém-se um máximo aproximadamente
. Logo
é uma contração em
e a iteração converge para o único ponto fixo em
, que é a raiz real positiva de
.
Observação prática: como
, a convergência é linear e a razão de contração é cerca de
(a cada passo o erro tende a reduzir-se pela metade aproximadamente).
Passo 4
Critério de parada e estimativa do erro.
Uma desigualdade útil para iteração de ponto fixo com constante de contração
é
onde
é o ponto fixo (a raiz). Assim, se conseguirmos garantir
então teremos
. No nosso caso queremos
e
, então
Portanto um teste simples e seguro é parar quando
(isto é ainda mais restritivo que a condição teórica aproximada), pois com
isto já garante
(ver cálculo no próximo passo).
Passo 5
Escolha de
e início das iterações.
Escolho
(um chute bem no meio do intervalo
). A iteração é
Vou calcular os
até que
. Apresento os cálculos aproximados (apenas aritmética direta: calcular
e extrair a raiz cúbica).
Cálculos (aproximações decimais com 6 casas significativas onde necessário):
-
. -
-
-
-
-
-
-
Agora as diferenças entre iterações:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Veja que em
temos
. Portanto a condição de parada foi satisfeita.
Passo 6
Estimativa rigorosa do erro final (garantia de
).
Usamos a desigualdade
Com
e
obtemos
Portanto
difere da raiz verdadeira
por menos de
. Podemos então tomar
como aproximação com a precisão requerida.
Arredondando
com 4 casas decimais (ou simplesmente dando um valor cuja diferença para a raiz é menor que
), obtemos a aproximação final.