Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
[Fácil]
17 x+13 y=100

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre todas as soluções inteiras da equação
17x+13y=100,
ou seja, todos os pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z} que satisfazem essa igualdade. Além disso, pede um esboço geométrico do conjunto solução (ou seja, como esses pares inteiros aparecem geometricamente no plano).
Informações dadas:
17x+13y=100.
O que se busca:
  • Todas as soluções inteiras (x,y).
  • Uma descrição geométrica (esboço) do conjunto dessas soluções.

Passo 2

Verificar se existem soluções inteiras: precisamos calcular o máximo divisor comum de 17 e 13 e checar se ele divide 100.
Vou aplicar o algoritmo de Euclides para encontrar \gcd(17,13).
Calculemos:
17 = 13\cdot1 + 4,
13 = 4\cdot3 + 1,
4 = 1\cdot4 + 0.
Como o último resto não nulo é 1, temos \gcd(17,13)=1.
Teorema importante (explicação curta): a equação linear ax+by=c tem solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c. Aqui \gcd(17,13)=1 e 1 divide 100, portanto existem soluções inteiras.

Passo 3

Agora encontramos uma solução particular. Para isso usamos o algoritmo estendido (voltar pelos restos) para escrever 1 como combinação linear de 17 e 13.
Das contas do algoritmo de Euclides vimos:
1 = 13 - 4\cdot3.
Substituindo 4 = 17 -13\cdot1 obtemos
1 = 13 - (17-13)\cdot3 = 13 -3\cdot17 +3\cdot13 = -3\cdot17 +4\cdot13.
Portanto
1 = (-3)\cdot17 + 4\cdot13.
Multiplicando ambos os lados por 100 (pois queremos 100 no lado direito) obtemos uma solução particular da equação original:
100 = (-300)\cdot17 + 400\cdot13.
Logo (x_0,y_0)=(-300,400) é uma solução inteira particular.

Passo 4

Explicar a forma geral das soluções: se \gcd(a,b)=d e (x_0,y_0) é uma solução de ax+by=c, então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
onde t\in\mathbb{Z}. Aqui a=17, b=13, d=1, então os incrementos são \frac{b}{d}=13 e \frac{a}{d}=17.
Aplicando isso à nossa solução particular (-300,400) obtemos a família geral
x = -300 + 13t,\qquad y = 400 - 17t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Vou explicar intuitivamente por que isso funciona: se você adicionar (13,-17) a uma solução (x,y), então
17(x+13)+13(y-17)=17x+13y + (17\cdot13 - 13\cdot17)=17x+13y,
ou seja, o lado esquerdo não muda. Assim cada passo t\mapsto t+1 desloca para outra solução inteira ao longo de um vetor fixo (13,-17).

Passo 5

É conveniente apresentar a solução com um par particular menor (mais “amigável”). Podemos ajustar t para simplificar os números. Tomando t=24 na expressão anterior obtemos
x = -300 + 13\cdot24 = -300 + 312 = 12,
y = 400 - 17\cdot24 = 400 - 408 = -8.
Portanto (12,-8) também é uma solução particular. A partir dela a forma geral fica mais limpa:
x = 12 + 13k,\qquad y = -8 - 17k,\qquad k\in\mathbb{Z},
onde k=t-24 e k\in\mathbb{Z}.
Explicando: toda solução inteira aparece para algum inteiro k, e soluções consecutivas diferem pelo vetor (13,-17).

Passo 6

Lista de alguns pontos inteiros da solução (para intuição):
Escolhendo alguns valores de k:
\begin{aligned} k=-2 &\Rightarrow (x,y)=(-14,26),\\\ k=-1 &\Rightarrow (x,y)=(-1,9),\\\ k=0 &\Rightarrow (x,y)=(12,-8),\\\ k=1 &\Rightarrow (x,y)=(25,-25),\\\ k=2 &\Rightarrow (x,y)=(38,-42). \end{aligned}
Repare que os pontos estão colineares (estão sobre a reta 17x+13y=100) e espaçados uniformemente pelo vetor (13,-17).

Passo 7

Esboço geométrico (descrição): geometricamente o conjunto solução é a interseção da reta
17x+13y=100
com a grade inteira \mathbb{Z}^2. Em palavras:
  • A reta tem coeficiente angular (inclinação) -\dfrac{17}{13} e interceptos com os eixos em x-intercept \left(\dfrac{100}{17},0\right) e y-intercept \left(0,\dfrac{100}{13}\right).
  • Os pontos inteiros sobre essa reta formam uma progressão discreta, cada ponto obtido do anterior somando o vetor (13,-17).
  • No desenho: trace a reta que atravessa \left(\dfrac{100}{17},0\right) e \left(0,\dfrac{100}{13}\right) e marque os pontos da grade \mathbb{Z}^2 que caem nela — esses pontos são exatamente os dados por (12+13k,\,-8-17k) para k\in\mathbb{Z}.
Observação adicional: não existem soluções com x\ge 0 e y\ge 0 ao mesmo tempo, pois a condição x\ge 0 força k\ge 0 (pois x=12+13k), enquanto y\ge 0 força k\le -1 (pois y=-8-17k), isto é, não há k inteiro que satisfaça as duas simultaneamente.

Resposta

(x,y) = (-300+13t,\;400-17t),\\ t\in\mathbb{Z}.\n
ou, de maneira mais simples,\n
(x,y) = (12+13k,\;-8-17k),\\ k\in\mathbb{Z}.\n
Geometricamente: os pontos solução são exatamente os pontos da reta 17x+13y=100 que pertencem à grade inteira \mathbb{Z}^2; eles são obtidos a partir de um ponto particular, por deslocamentos sucessivos pelo vetor (13,-17).

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