Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
[Fácil]
[Fácil]
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre todas as soluções inteiras da equação
ou seja, todos os pares
com
que satisfazem essa igualdade. Além disso, pede um esboço geométrico do conjunto solução (ou seja, como esses pares inteiros aparecem geometricamente no plano).
Informações dadas:
O que se busca:
- Todas as soluções inteiras
. - Uma descrição geométrica (esboço) do conjunto dessas soluções.
Passo 2
Verificar se existem soluções inteiras: precisamos calcular o máximo divisor comum de
e
e checar se ele divide
.
Vou aplicar o algoritmo de Euclides para encontrar
.
Calculemos:
Como o último resto não nulo é
, temos
.
Teorema importante (explicação curta): a equação linear
tem solução inteira se, e somente se,
divide
. Aqui
e
divide
, portanto existem soluções inteiras.
Passo 3
Agora encontramos uma solução particular. Para isso usamos o algoritmo estendido (voltar pelos restos) para escrever
como combinação linear de
e
.
Das contas do algoritmo de Euclides vimos:
Substituindo
obtemos
Portanto
Multiplicando ambos os lados por
(pois queremos
no lado direito) obtemos uma solução particular da equação original:
Logo
é uma solução inteira particular.
Passo 4
Explicar a forma geral das soluções: se
e
é uma solução de
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
. Aqui
,
,
, então os incrementos são
e
.
Aplicando isso à nossa solução particular
obtemos a família geral
Vou explicar intuitivamente por que isso funciona: se você adicionar
a uma solução
, então
ou seja, o lado esquerdo não muda. Assim cada passo
desloca para outra solução inteira ao longo de um vetor fixo
.
Passo 5
É conveniente apresentar a solução com um par particular menor (mais “amigável”). Podemos ajustar
para simplificar os números. Tomando
na expressão anterior obtemos
Portanto
também é uma solução particular. A partir dela a forma geral fica mais limpa:
onde
e
.
Explicando: toda solução inteira aparece para algum inteiro
, e soluções consecutivas diferem pelo vetor
.
Passo 6
Lista de alguns pontos inteiros da solução (para intuição):
Escolhendo alguns valores de :
Escolhendo alguns valores de
Repare que os pontos estão colineares (estão sobre a reta
) e espaçados uniformemente pelo vetor
.
Passo 7
Esboço geométrico (descrição): geometricamente o conjunto solução é a interseção da reta
com a grade inteira
. Em palavras:
- A reta tem coeficiente angular (inclinação)
e interceptos com os eixos em -intercept e -intercept . - Os pontos inteiros sobre essa reta formam uma progressão discreta, cada ponto obtido do anterior somando o vetor
. - No desenho: trace a reta que atravessa
e e marque os pontos da grade que caem nela — esses pontos são exatamente os dados por para .
Observação adicional: não existem soluções com
e
ao mesmo tempo, pois a condição
força
(pois
), enquanto
força
(pois
), isto é, não há
inteiro que satisfaça as duas simultaneamente.
Resposta
ou, de maneira mais simples,\n
Geometricamente: os pontos solução são exatamente os pontos da reta