Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
[Fácil]
102 x+1001 y=533

Passo 1

O enunciado dá a equação diofantina linear
102x + 1001y = 533
e pede duas coisas:
  1. Encontrar todas as soluções inteiras (x,y).
  2. Esboçar geometricamente o conjunto solução (ou seja, descrever como os pares inteiros se distribuem no plano).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes são 102, 1001 e o termo independente é 533. Não há restrições adicionais (queremos soluções em \mathbb{Z}).

Passo 2

Primeiro vamos ver se existem soluções inteiras — para isso precisamos do máximo divisor comum dos coeficientes. Vou aplicar o Algoritmo de Euclides para 102 e 1001. Mostro os passos da divisão sucessiva:
\begin{aligned} 1001 &= 9\cdot102 + 83,\\\\ 102 &= 1\cdot83 + 19,\\\\ 83 &= 4\cdot19 + 7,\\\\ 19 &= 2\cdot7 + 5,\\\\ 7 &= 1\cdot5 + 2,\\\\ 5 &= 2\cdot2 + 1,\\\\ 2 &= 2\cdot1 + 0. \end{aligned}
Como o último resto não nulo é 1, temos
\gcd(102,1001)=1.
Se \gcd(102,1001)=d e d\mid 533 então existem soluções; aqui d=1 divide 533, logo a equação tem soluções inteiras (de facto, infinitas).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular. Para isso uso o algoritmo estendido de Euclides para escrever 1 como combinação linear de 102 e 1001. Refaço as substituições de trás para frente (mostro como montar os coeficientes):
Começamos de
1 = 5 - 2\cdot2.
Mas 2 = 7 - 1\cdot5, então
1 = 5 - 2(7-5) = 3\cdot5 - 2\cdot7.
Como 5 = 19 - 2\cdot7,
1 = 3(19-2\cdot7) - 2\cdot7 = 3\cdot19 -8\cdot7.
Como 7 = 83 - 4\cdot19,
1 = 3\cdot19 -8(83-4\cdot19) = 35\cdot19 -8\cdot83.
Como 19 = 102 - 1\cdot83,
1 = 35(102-83) -8\cdot83 = 35\cdot102 -43\cdot83.
Como 83 = 1001 -9\cdot102,
1 = 35\cdot102 -43(1001-9\cdot102) = 422\cdot102 -43\cdot1001.
Portanto existem inteiros a=422 e b=-43 tais que
422\cdot102 + (-43)\cdot1001 = 1.

Passo 4

Multiplicamos a identidade acima por 533 para obter uma solução particular da equação original:
(422\cdot533)\cdot102 + (-43\cdot533)\cdot1001 = 533.
Assim uma solução particular é
x_0 = 422\cdot533,\qquad y_0 = -43\cdot533.
Faço as contas:
x_0 = 422\cdot533 = 224926,\qquad y_0 = -43\cdot533 = -22919.
Verificação rápida: 102\cdot224926 + 1001\cdot(-22919)=533 (pode confiar na construção algébrica, ou calcular se quiser).

Passo 5

Agora descrevemos a solução geral. Para uma equação ax+by=c com d=\gcd(a,b), as soluções inteiras gerais são
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Aqui d=1, a=102, b=1001. Então a forma geral é
x = 224926 + 1001\,t,\qquad y= -22919 - 102\,t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

É útil escolher uma solução particular menor (mais simpática) reduzindo x_0 módulo 1001. Como 224926 \equiv 702 \pmod{1001} (pois 224926-224\cdot1001=702), tomamos t=-224 para obter uma solução com x pequeno:
Substituindo t=-224 em cima:
x = 224926 + 1001(-224) = 702,
y = -22919 -102(-224) = -22919 +22848 = -71.
Logo uma solução particular pequena é (x,y)=(702,-71). Verificação:
102\cdot702 + 1001\cdot(-71) = 71604 -71071 = 533.
Assim podemos escrever a família de soluções de forma mais enxuta:
\boxed{x = 702 + 1001k,\qquad y = -71 - 102k,\qquad k\in\mathbb{Z}.}

Passo 7

Algumas observações e exemplos concretos (ajuda na prova): pegar k=-1
(x,y)=(-299,31),
verifique:
102\cdot(-299)+1001\cdot31 = -30498 +31031 = 533.
Temos infinitas soluções porque \gcd(102,1001)=1.

Passo 8

Esboço geométrico e interpretação: a equação pode ser reescrita como
y = \frac{533-102x}{1001}.
Isto define uma reta no plano real com inclinação -\dfrac{102}{1001} (ligeiramente negativa) e intercepto em y igual a \dfrac{533}{1001}. As soluções inteiras são exatamente os pontos de interseção dessa reta com a rede inteira \mathbb{Z}^2. Como a solução geral mostra, esses pontos inteiros estão igualmente espaçados ao longo da reta, separados pelo vetor inteiro
\Delta = (1001,-102).
Esse vetor é o “passo” mínimo entre soluções inteiras (é primitivo porque \gcd(1001,102)=1). Portanto geometricamente você tem uma reta e, sobre ela, uma progressão infinita de pontos da rede, cada um deslocado do anterior por \Delta. No esboço, desenhe a reta de inclinação -102/1001 e marque alguns pontos como (702,-71), (-299,31), (1703,-173) etc., que estão alinhados e espaçados por \Delta.

Resposta

x = 702 + 1001k,\; y = -71 - 102k,\; k\in\mathbb{Z}.
Geometricamente: soluções inteiras são os pontos da reta y=(533-102x)/1001 espaçados pelo vetor (1001,-102) na rede \mathbb{Z}^2.

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