Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas lineares. Esboce geometricamente o conjunto solução.
[Fácil]
[Fácil]
Passo 1
O enunciado dá a equação diofantina linear
e pede duas coisas:
- Encontrar todas as soluções inteiras
. - Esboçar geometricamente o conjunto solução (ou seja, descrever como os pares inteiros se distribuem no plano).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes são
,
e o termo independente é
. Não há restrições adicionais (queremos soluções em
).
Passo 2
Primeiro vamos ver se existem soluções inteiras — para isso precisamos do máximo divisor comum dos coeficientes. Vou aplicar o Algoritmo de Euclides para
e
. Mostro os passos da divisão sucessiva:
Como o último resto não nulo é
, temos
Se
e
então existem soluções; aqui
divide
, logo a equação tem soluções inteiras (de facto, infinitas).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular. Para isso uso o algoritmo estendido de Euclides para escrever
como combinação linear de
e
. Refaço as substituições de trás para frente (mostro como montar os coeficientes):
Começamos de
Mas
, então
Como
,
Como
,
Como
,
Como
,
Portanto existem inteiros
e
tais que
Passo 4
Multiplicamos a identidade acima por
para obter uma solução particular da equação original:
Assim uma solução particular é
Faço as contas:
Verificação rápida:
(pode confiar na construção algébrica, ou calcular se quiser).
Passo 5
Agora descrevemos a solução geral. Para uma equação
com
, as soluções inteiras gerais são
Aqui
,
,
. Então a forma geral é
Passo 6
É útil escolher uma solução particular menor (mais simpática) reduzindo
módulo
. Como
(pois
), tomamos
para obter uma solução com
pequeno:
Substituindo
em cima:
Logo uma solução particular pequena é
. Verificação:
Assim podemos escrever a família de soluções de forma mais enxuta:
Passo 7
Algumas observações e exemplos concretos (ajuda na prova): pegar
dá
verifique:
Temos infinitas soluções porque
.
Passo 8
Esboço geométrico e interpretação: a equação pode ser reescrita como
Isto define uma reta no plano real com inclinação
(ligeiramente negativa) e intercepto em
igual a
. As soluções inteiras são exatamente os pontos de interseção dessa reta com a rede inteira
. Como a solução geral mostra, esses pontos inteiros estão igualmente espaçados ao longo da reta, separados pelo vetor inteiro
Esse vetor é o “passo” mínimo entre soluções inteiras (é primitivo porque
). Portanto geometricamente você tem uma reta e, sobre ela, uma progressão infinita de pontos da rede, cada um deslocado do anterior por
. No esboço, desenhe a reta de inclinação
e marque alguns pontos como
,
,
etc., que estão alinhados e espaçados por
.
Resposta
Geometricamente: soluções inteiras são os pontos da reta