Encontre a transformada de Laplace inversa da função Y(s) = s^2 - 3s + 1(s - 1)^3 + 2(s - 1)^6.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar a transformada de Laplace inversa de
Y(s) ;=;s^2 - 3s + 1(s - 1)^3;+;2(s - 1)^6
Isso cai em “inversa da transformada de Laplace” com deslocamento no eixo : a teoria que precisamos é
  1. a propriedade L⁻¹ ,
  2. manipular frações em pra caber nesse formato.

Passo 2

Vamos quebrar em duas partes:
Y(s) = underbraces^2 - 3s + 1(s - 1)^3Y1(s) ;+; underbrace2(s - 1)^6Y2(s)
A ideia é achar L⁻¹ de cada uma separadamente.

Passo 3

Trabalhando (s^2 -3s +1) = (u+1)^2 -3(u+1) +1 = u^2 -u -1 :
  1. Faz a troca Y1(s) = u^2 - u - 1u^3 = u^2u^3 - uu^3 - 1u^3 = u^-1 - u^-2 - u^-3 , então u^-1 = 1s-1, u^-2 = 1(s-1)^2, u^-3 = 1(s-1)^3 .
  2. O numerador vira
L^-11/(s-1) = e^t, L^-11/(s-1)^2 = t,e^t, L^-11/(s-1)^3 = tfract^22,e^t,
  1. Logo
f1(t) = e^t ;-; t,e^t ;-; tfract^22,e^t
  1. Voltando a :
  1. Aplicando L⁻¹ usando
a gente obtém

Passo 4

Agora L^-1tfrac1(s-1)^6 = t^55!,e^t = t^5120,e^t, .
Usando direto
f2(t) = 2;t^5120,e^t = t^560,e^t
multiplicamos por 2:

Resposta

Somando f(t) = e^t ;-; t,e^t ;-;tfract^22,e^t ;+;tfract^560,e^t ;=; e^tl(1 - t - tfract^22 + tfract^560r) e , a transformada inversa é

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