Encontre a transformada de Laplace inversa da função
.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente achar a transformada de Laplace inversa de
Isso cai em “inversa da transformada de Laplace” com deslocamento no eixo
: a teoria que precisamos é
- a propriedade L⁻¹
, - manipular frações em
pra caber nesse formato.
Passo 2
Vamos quebrar em duas partes:
A ideia é achar L⁻¹ de cada uma separadamente.
Passo 3
Trabalhando
(s^2 -3s +1) = (u+1)^2 -3(u+1) +1 = u^2 -u -1 :
- Faz a troca
, entãoY1(s) = u^2 - u - 1u^3 = u^2u^3 - uu^3 - 1u^3 = u^-1 - u^-2 - u^-3 .u^-1 = 1s-1, u^-2 = 1(s-1)^2, u^-3 = 1(s-1)^3 - O numerador vira
- Logo
- Voltando a
:
- Aplicando L⁻¹ usando
a gente obtém
Passo 4
Agora
L^-1tfrac1(s-1)^6 = t^55!,e^t = t^5120,e^t, .
Usando direto
Usando direto
multiplicamos por 2:
Resposta
Somando
f(t) = e^t ;-; t,e^t ;-;tfract^22,e^t ;+;tfract^560,e^t ;=; e^tl(1 - t - tfract^22 + tfract^560r) e
, a transformada inversa é