Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes resultados nas iteraçōes indicadas:
ll x10=1.5 & x14=2.14128 x11=2.24702 & x15=2.14151 x12=2.14120 & x16=2.14133 x13=2.14159 & x17=2.14147
Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos mostra várias iterações do método do ponto fixo (MPF) para achar a raiz de uma certa equação. A gente tá vendo os valores de para até . O conteúdo aqui é Método Numérico, mais especificamente o MPF, que é uma forma de aproximar o zero de uma função reescrevendo-a como e iterando. Para resolver, vamos:
  1. Verificar se os valores estão convergindo;
  2. Estimar o valor da raiz;
  3. Avaliar o erro aproximado.

Passo 2

Olha os dados que a gente tem:
x10 &= 1.50000, x11 &= 2.24702, x12 &= 2.14120, x13 &= 2.14159, x14 &= 2.14128, x15 &= 2.14151, x16 &= 2.14133, x17 &= 2.14147
Repara que, depois de , os valores “pulam” pra cima e pra baixo, mas cada vez dentro de um intervalo menor: é sinal de convergência oscilante. Isso é típico de ponto fixo quando é negativo ou muda de sinal perto da raiz.

Passo 3

Pra estimar a raiz x16=2.14133, x17=2.14147 , podemos olhar nos últimos dois valores:
lvert x17-x16rvert = |2.14147 - 2.14133| = 0.00014
A gente espera que o erro x^* approx 2.1414 seja da ordem de . Então
Isso indica que a raiz está em torno de
com erro inferior a .

Passo 4

Pra gente ver melhor a precisão, dá pra dizer que já temos pelo menos 4 casas decimais confiáveis (até a quarta casa, o valor não muda se formos olhar entre e ).

Resposta

A sequência está convergindo de forma oscilante para a raiz
boxedx^* approx 2.1414,
com erro estimado em cerca de .

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