Encontre a transformada de Laplace inversa da função
.
Passo 1
Opa, beleza? Então o enunciado pede: “Encontre a transformada de Laplace inversa de
Isso é conteúdo de transformada de Laplace inversa. Para resolver, vamos precisar de dois ingredientes básicos:
- Decompor em frações parciais para inverter a parte
. - Usar o teorema do deslocamento no tempo (ou teorema de Heaviside) para tratar o
.
Passo 2
Primeiro cuida da parte sem o
, ou seja
A ideia de fração parcial é escrever isso como
onde
e
são constantes que a gente acha resolvendo
Passo 3
Para achar
e
:
- Faz
: ⇒ . - Faz
: ⇒ .
Então
Agora aplicamos a transformada inversa (são fórmulas padrão):
Logo
Passo 4
Agora encara a parte com o deslocamento:
O teorema do deslocamento diz que, se
então
então
onde
é a função degrau de Heaviside.
Aqui e
, cuja inversa a gente já achou:
.
Então
Aqui
Então
Passo 5
Por fim, soma as duas partes que encontramos: