Encontre a transformada de Laplace inversa da função Y(s) = 1s^2 + 2s + e^-ss^2 + 2s.

Passo 1

Opa, beleza? Então o enunciado pede: “Encontre a transformada de Laplace inversa de
Y(s) ;=;1s^2+2s;+;e^-ss^2+2s
Isso é conteúdo de transformada de Laplace inversa. Para resolver, vamos precisar de dois ingredientes básicos:
  1. Decompor em frações parciais para inverter a parte .
  2. Usar o teorema do deslocamento no tempo (ou teorema de Heaviside) para tratar o .

Passo 2

Primeiro cuida da parte sem o 1s^2+2s ;=;1s,(s+2) , ou seja
1s(s+2) ;=;As ;+;Bs+2,
A ideia de fração parcial é escrever isso como
1 = A,(s+2) + B,s
onde e são constantes que a gente acha resolvendo

Passo 3

Para achar 1s(s+2) ;=;1/2s ;-;1/2s+2 e L^-1!l[tfrac1sr]=1, L^-1!l[tfrac1s+2r]=e^-2t :
  • Faz L^-1!l[tfrac1s(s+2)r] = tfrac12;1 ;-;tfrac12,e^-2t = tfrac12l(1 - e^-2tr) : .
  • Faz : .
    Então
Agora aplicamos a transformada inversa (são fórmulas padrão):
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Passo 4

Agora encara a parte com o deslocamento:
e^-ss^2+2s =;e^-s;1s(s+2)
O teorema do deslocamento diz que, se
L^-1!l[e^-a sF(s)r] = u(t-a),f(t-a),
então
L^-1!l[e^-ss(s+2)r] = u(t-1);tfrac12l(1 - e^-2(t-1)r)
onde é a função degrau de Heaviside.
Aqui e , cuja inversa a gente já achou:
.
Então

Passo 5

Por fim, soma as duas partes que encontramos:

Resposta

y(t) ;=;12l(1 - e^-2tr) ;+;u(t-1),12l(1 - e^-2(t-1)r)

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