Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, então o exercício pede a transformada inversa de Laplace de
Isso é conteúdo de equações diferenciais / transformadas de Laplace: para inverter a gente vai usar as propriedades básicas da transformada de Laplace e, mais especificamente, a técnica de frações parciais + tabela de transformadas conhecidas (por exemplo, ).
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador e montamos a fração parcial:
A ideia é achar
e
de forma que a soma dê certinho a nossa razão original.
Passo 3
A gente multiplica tudo por
e obtém
Agora, escolho valores de
para isolar
e
:
- Se
: → - Se
: →
Logo
Passo 4
Agora usamos a tabela básica de transformadas:
Aplicando isso termo a termo:
Mas atenção: o segundo termo tinha sinal menos, então fica
.
Passo 5
Bora juntar tudo:
Se quiser, dá pra escrever em termos de seno hiperbólico: