Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F(s)=4s^2-9

Passo 1

Beleza, então o exercício pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=4s^2-9
Isso é conteúdo de equações diferenciais / transformadas de Laplace: para inverter a gente vai usar as propriedades básicas da transformada de Laplace e, mais especificamente, a técnica de frações parciais + tabela de transformadas conhecidas (por exemplo, ).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e montamos a fração parcial:
4s^2-9 ;=;4(s-3)(s+3) ;=;As-3 + Bs+3
A ideia é achar e de forma que a soma dê certinho a nossa razão original.

Passo 3

A gente multiplica tudo por 4 = A,(s+3) + B,(s-3) e obtém
4s^2-9 = 2/3s-3 - 2/3s+3
Agora, escolho valores de para isolar e :
  • Se :
  • Se :
Logo

Passo 4

Agora usamos a tabela básica de transformadas:
Aplicando isso termo a termo:
Mas atenção: o segundo termo tinha sinal menos, então fica Laplacee^at = 1s - a Longrightarrow Laplace^-1ltfrac1s-ar = e^at .

Passo 5

Bora juntar tudo:
f(t) = 23,e^3t ;-;23,e^-3t
Se quiser, dá pra escrever em termos de seno hiperbólico:
f(t)=23l(e^3t-e^-3tr)=43sinh(3t)

Resposta

boxedf(t)=23,e^3t-23,e^-3t

Exercícios relacionados