Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F(s)=1(s-1)^2(s+1)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Encontre a transformada de Laplace inversa de
F(s)=1(s-1)^2(s+1)
Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, mais especificamente de como voltar de pra . Para isso a gente vai precisar de:
  1. Noções básicas de transformada de Laplace inversa (tabela: , , etc.).
  2. Fazer uma decomposição em frações parciais em .

Passo 2

Vamos decompor
1(s-1)^2(s+1)=As-1+B(s-1)^2+Cs+1
Multiplicando tudo por 1 = A,(s-1)(s+1) + B,(s+1) + C,(s-1)^2 , fica
A(s^2-1) + B(s+1) + C(s^2-2s+1)
Agora expandimos e comparamos coeficientes de potências de A + C = 0, B -2C = 0, -A + B + C =1 Longrightarrow A=-tfrac14,;B=tfrac12,;C=tfrac14 .
  1. Expansão:
F(s)= -14,1s-1 ;+;12,1(s-1)^2;+;14,1s+1
  1. Coeficientes:
  • : .
  • : .
  • termo constante: .
  1. Resolve o sistema:
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Passo 3

Agora é só usar a tabela de inversas:
  • f(t) = -14e^t + 12,t,e^t + 14e^-t .
  • .
  • .
Aplicando termo a termo:

Resposta

f(t)=-tfrac14e^t ;+;tfrac12,t,e^t;+;tfrac14e^-t

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