Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=cos ^2(omega t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a transformada de Laplace da função
f(t)=cos^2(omega t)
Isso é um exercício de Transformada de Laplace: a gente vai usar a definição básica, a propriedade de linearidade e uma identidade trigonométrica para simplificar a função antes de aplicar a transformada.
O que precisamos saber:
  • Identidade trigonométrica .
  • A definição linear da transformada de Laplace:
  • No “tabelão” de transformadas:
    e

Passo 2

Primeiro passo de verdade: use a identidade trigonométrica para reescrever cos^2(omega t) = tfrac12l(1 + cos(2omega t)r) . Ela diz:
Isso é ótimo porque agora nossa função é soma de coisas simples em que a gente já conhece a transformada.

Passo 3

Agora aplicamos a linearidade da transformada de Laplace em
f(t) = tfrac12cdot 1 ;+; tfrac12cdot cos(2omega t)
Usando
Lf(t) = tfrac12,L1 ;+; tfrac12,Lcos(2omega t) e

ficamos com

Passo 4

Agora é só olhar na tabela de transformadas:
  • Lf(t) = tfrac12cdot1s ;+; tfrac12cdotss^2 + 4omega^2 .
Então

Passo 5

Para deixar mais bonitinho, podemos juntar os termos sob um mesmo denominador:
tfrac12cdot1s + tfrac12cdotss^2+4omega^2 = 12s + s2,(s^2+4omega^2)

Passo 6

Se você quiser, dá pra escrever tudo num único quociente. Fazendo o mínimo múltiplo entre s^2 + 2omega^2s,(s^2 + 4omega^2) e , a gente chega em

Resposta

boxed Lcos^2(omega t) = 12s ;+; s2,(s^2+4omega^2) ou s^2 + 2omega^2s,(s^2 + 4omega^2)

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