Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime+3 y=e^2 t ; y(0)=1

Passo 1

Beleza, o exercício pede para usar a transformada de Laplace e resolver a EDO de valor inicial
y'(t) + 3,y(t) = e^2t, y(0)=1
Conteúdo envolvido: transformada de Laplace e suas propriedades (linha de superposição, derivada no domínio do tempo vira polinômio em no domínio de Laplace), frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
sY(s) - y(0) ;+; 3,Y(s) ;=;1s-2 ,
sY(s)-1 + 3Y(s) = 1s-2 e
.
Então, transformando tudo dá:
Como , isso vira

Passo 3

Agora é só isolar (s+3),Y(s) - 1 = 1s-2 longrightarrow (s+3),Y(s) = 1 + 1s-2 . Juntando os termos em boxedY(s) = 1s+3 ;+;1(s-2)(s+3) :

Passo 4

A gente precisa inverter essa transformada, então fazmos frações parciais em 1(s-2)(s+3) = As-2 + Bs+3 . Queremos achar 1 = A(s+3) + B(s-2) e 1(s-2)(s+3) = 1/5s-2 - 1/5s+3 tais que
Y(s) = 1s+3 + 1/5s-2 - 1/5s+3 = 4/5s+3 + 1/5s-2
Multiplicando tudo por :
Escolhendo : .
Escolhendo : .
Então
Substituindo em :

Passo 5

Bora inverter a transformada:
L^-1tfrac4/5s+3 = tfrac45,e^-3t, L^-1tfrac1/5s-2 = tfrac15,e^2t
Somando as duas partes, chega:
y(t) = 45,e^-3t + 15,e^2t

Resposta

boxedy(t) = 45,e^-3t + 15,e^2t

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