Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para usar a transformada de Laplace e resolver a EDO de valor inicial
Conteúdo envolvido: transformada de Laplace e suas propriedades (linha de superposição, derivada no domínio do tempo vira polinômio em
no domínio de Laplace), frações parciais e transformada inversa.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
,
e
.
Então, transformando tudo dá:
Então, transformando tudo dá:
Como
, isso vira
Passo 3
Agora é só isolar
. Juntando os termos em
:
Passo 4
A gente precisa inverter essa transformada, então fazmos frações parciais em
. Queremos achar
e
tais que
Multiplicando tudo por
:
Escolhendo
:
.
Escolhendo :
.
Então
Escolhendo
Então
Substituindo em
:
Passo 5
Bora inverter a transformada:
Somando as duas partes, chega: