Encontre h por trapézios e por Simpson de forma que o erro máximo de
integral1^3 d x2 x
seja da ordem de 10^-6.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o tamanho de passo integral1^3 dx2x nas fórmulas compostas de Trapézio e de Simpson de modo que o erro máximo em
fique da ordem de .
Conteúdo: integração numérica e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do erro máximo para a regra composta do trapézio, que envolve a segunda derivada de .
  • A fórmula do erro máximo para a regra composta de Simpson, que envolve a quarta derivada de .
  • Calcular e para achar os máximos desses valores no intervalo .

Passo 2

Regra composta do Trapézio: o erro máximo satisfaz
ET <= (b-a)12,h^2,maxxin[1,3]|f''(x)|,
onde f(x)=tfrac12 x^-1, f'(x)=-tfrac12 x^-2, f''(x)=1cdot x^-3=1x^3 , ET <= 3-112,h^2cdot1 = 212,h^2 = h^26 , h^2 <= 6times10^-6 longrightarrow h <= raiz6times10^-6 approx 2,45times10^-3 .
  1. Calcular :
No intervalo , ocorre em , valendo .
2) Substituindo:
Queremos , logo

Passo 3

Regra composta de Simpson: o erro máximo satisfaz
ES <= (b-a)180,h^4,maxxin[1,3]|f^(4)(x)|
  1. Já temos f'''(x)=-3x^-4, f^(4)(x)=12x^-5 . Derivando mais duas vezes:
ES <= 3-1180,h^4cdot12 = 2cdot12180,h^4 = 24180,h^4 = 215,h^4
No intervalo, h^4 <= 152,10^-6 = 7,5times10^-6 longrightarrow h <= (7,5times10^-6)^1/4 approx 5,23times10^-2 (em ).
2) Substituindo:
Queremos , então

Resposta

Trapézios:
Simpson :

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