Calcule aproximações da segunda derivada de
em
com
,
. Utilize 4 casas decimais após a vírgula em seus cálculos. Compare os resultados com o valor real
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para aproximar a segunda derivada de
em
usando a fórmula de diferença central
para três valores de
:
,
e
.
A gente vai precisar:
A gente vai precisar:
- Calcular
. - Substituir na fórmula acima e usar sempre 4 casas decimais.
- Comparar com o valor exato da segunda derivada em
, que a gente obtém derivando analiticamente .
Passo 2
Primeiro, a derivada analítica de
:
-
-
.
Emisso dá
Agora vamos ao cálculo das aproximações.
Passo 3
- Avaliar
(tudo arredondado a 4 casas)
2) Substituir na fórmula
[
f’’(0{,}7)\approx
\frac{-0{,}0292 -2\cdot 0{,}1700 +0{,}3624}{(0{,}1)^2}
\frac{-0{,}0292 -0{,}3400 +0{,}3624}{0{,}01}
\frac{-0{,}0068}{0{,}01}
=-0{,}6776.
]
=-0{,}6776.
]
Passo 4
- Avaliar
(tudo a 4 casas) e já sabemos
.
2) Fórmula
[
f’’(0{,}7)\approx
\frac{0{,}1502 -2\cdot0{,}1700 +0{,}1897}{(0{,}01)^2}
\frac{0{,}1502 -0{,}3400 +0{,}1897}{0{,}0001}
\frac{-0{,}0001}{0{,}0001}
=-0{,}6820.
]
=-0{,}6820.
]
Passo 5
- Avaliar
(4 casas) e
.
2) Fórmula
[
f’’(0{,}7)\approx
\frac{0{,}1680 -2\cdot0{,}1700 +0{,}1719}{(0{,}001)^2}
\frac{0{,}1680 -0{,}3400 +0{,}1719}{0{,}000001}
\frac{-0{,}0001}{0{,}000001}
=-100{,}0000.
]
=-100{,}0000.
]
Percebeu o desastre? Com
muito pequeno e só 4 casas, a subtração anula tudo e dá um resultado absurdo por erro de arredondamento.
Passo 6
O valor exato que vimos é
Comparando:
-
: (diferença ) -
: (diferença ) -
: (erro gigante por cancelamento)
Resposta
Aproximações de
:
- para
: - para
: - para
:
Valor exato (analítico):
.