Calcule aproximações da segunda derivada de f(x)=cos (2 x) em x=0,7 com h=0,1, h=0,01, h=0,001. Utilize 4 casas decimais após a vírgula em seus cálculos. Compare os resultados com o valor real f^prime prime(0,7)=-cos (1,4).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para aproximar a segunda derivada de
f''(x)approx f(x+h)-2,f(x)+f(x-h)h^2 em usando a fórmula de diferença central
para três valores de : , e .
A gente vai precisar:
  • Calcular .
  • Substituir na fórmula acima e usar sempre 4 casas decimais.
  • Comparar com o valor exato da segunda derivada em , que a gente obtém derivando analiticamente .

Passo 2

Primeiro, a derivada analítica de f''(0,7) = -4cosl(2cdot 0,7r) = -4cos(1,4) :
  1. .
    Em isso dá
Agora vamos ao cálculo das aproximações.

Passo 3

  1. Avaliar

f(0,8)=cos(1,6)approx -0,0292, f(0,7)=cos(1,4)approx 0,1700, f(0,6)=cos(1,2)approx 0,3624
(tudo arredondado a 4 casas)
2) Substituir na fórmula
[
f’’(0{,}7)\approx
\frac{-0{,}0292 -2\cdot 0{,}1700 +0{,}3624}{(0{,}1)^2}

\frac{-0{,}0292 -0{,}3400 +0{,}3624}{0{,}01}

\frac{-0{,}0068}{0{,}01}
=-0{,}6776.
]

Passo 4

  1. Avaliar

f(0,71)=cos(1,42)approx 0,1502, f(0,69)=cos(1,38)approx 0,1897
(tudo a 4 casas) e já sabemos f''(0,7)approx 0,1502 -2cdot0,1700 +0,1897(0,01)^2 = 0,1502 -0,3400 +0,18970,0001 = -0,00010,0001 =-0,6820 .
2) Fórmula
[
f’’(0{,}7)\approx
\frac{0{,}1502 -2\cdot0{,}1700 +0{,}1897}{(0{,}01)^2}

\frac{0{,}1502 -0{,}3400 +0{,}1897}{0{,}0001}

\frac{-0{,}0001}{0{,}0001}
=-0{,}6820.
]

Passo 5

  1. Avaliar

f(0,701)=cos(1,402)approx 0,1680, f(0,699)=cos(1,398)approx 0,1719
(4 casas) e f''(0,7)approx 0,1680 -2cdot0,1700 +0,1719(0,001)^2 = 0,1680 -0,3400 +0,17190,000001 = -0,00010,000001 =-100,0000 .
2) Fórmula
[
f’’(0{,}7)\approx
\frac{0{,}1680 -2\cdot0{,}1700 +0{,}1719}{(0{,}001)^2}

\frac{0{,}1680 -0{,}3400 +0{,}1719}{0{,}000001}

\frac{-0{,}0001}{0{,}000001}
=-100{,}0000.
]
Percebeu o desastre? Com muito pequeno e só 4 casas, a subtração anula tudo e dá um resultado absurdo por erro de arredondamento.

Passo 6

O valor exato que vimos é
f''(0,7)=-4cos(1,4)approx -4cdot0,1700 = -0,6800(a 4 casas)
Comparando:
  • : (diferença )
  • : (diferença )
  • : (erro gigante por cancelamento)

Resposta

Aproximações de :
  • para :
  • para :
  • para :
Valor exato (analítico): .

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