Via Gauss com n=2 obtenha
integral2^8 e^-4 x d x

Passo 1

Então, o exercício pede pra usar a quadratura de Gauss-Legendre com integral2^8 e^-4x,dx pra aproximar a integral
Conteúdo: integração numérica (quadratura de Gauss).
O que vamos precisar:
  1. Saber os nós e pesos para no intervalo padrão .
  2. Fazer a mudança de variável de para .
  3. Avaliar a função nos nós transformados e montar a soma de Gauss.

Passo 2

Teoria da mudança de variável:
Para integrar em x(t)=b+a2+b-a2,t, dx = b-a2,dt com quadratura de Gauss em integrala^bf(x),dx approx b-a2sumi=1^nwi,f!l(x(ti)r) , usamos
t1=-1raiz3,; t2=+1raiz3, w1=w2=1
Então
Para , tabela de Gauss-Legendre em :

Passo 3

Aqui b+a2=5, b-a2=3 , x1 = 5 + 3!l(-tfrac1raiz3r) =5-3raiz3, x2 = 5 + 3!l(+tfrac1raiz3r) =5+3raiz3 . Então
Os nós em são

Passo 4

Agora avaliamos integral2^8e^-4x,dx approx 8-22,l[f(x1)+f(x2)r] =3l(e^-4x1+e^-4x2r) nesses pontos e montamos a fórmula:

Passo 5

Vamos calcular numericamente:
x1=5-3raiz3approx3,268, x2=5+3raiz3approx6,732
e^-4x1=e^-13,072approx2,11times10^-6, e^-4x2=e^-26,928approx2,00times10^-12
Somando e multiplicando por 3:
3l(2,11times10^-6+2,00times10^-12r) approx3times2,11times10^-6 approx6,33times10^-6

Resposta

Aproximação pela quadratura de Gauss com boxedintegral2^8 e^-4x,dx approx 6,3times10^-6 :

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