Encontre os últimos três dígitos do número 7^999. (Dica: 7^4 n equiv(1+ 400)^n equiv 1+400 n(bmod 1000))

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente “achar os últimos três dígitos de 7^4nequiv(1+400)^nequiv 1+400,npmod1000 ”. Isso cai direitinho em Aritmética Modular (congruências) e propriedades de potências. Vamos usar a dica dada, que é
Ou seja, precisamos entender congruências, como simplificar potências módulo 1000 e o fato de que termos com ou mais são múltiplos de 1000.

Passo 2

Primeiro, a gente divide o expoente 999 em “um múltiplo de 4” mais um resto:
999 = 4cdot 249 + 3
Isso significa
7^999 = 7^4cdot249 + 3 = 7^4cdot249;times;7^3

Passo 3

Pela dica, como 7^4 equiv 1 + 400 pmod1000 e 7^4cdot249 equiv (1+400)^249 pmod1000 , a gente tem
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Passo 4

Agora expandimos (1+400)^249 equiv 1 + binom2491400 = 1 + 249cdot 400 pmod1000 pelo Teorema Binomial. Mas todos os termos que envolvem ou mais são múltiplos de , aí já são múltiplos de 1000 e viram 0 no módulo. Então só sobra o primeiro e o segundo termos:

Passo 5

Calcular 249cdot 400 = 99600 Longrightarrow 1 + 99600 = 99601 Longrightarrow 99601equiv 601pmod1000 :
7^4cdot249 equiv 601 pmod1000
Então

Passo 6

Não esquece que a gente ainda precisa multiplicar por 7^999 = 7^4cdot249times7^3 equiv 601 times 343 pmod1000 . Sabemos , então

Passo 7

Basta calcular 601times343 = 206143 Longrightarrow 206143equiv 143pmod1000 :

Resposta

Os últimos três dígitos de são 143.

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