Encontre os últimos três dígitos do número
. (Dica:
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente “achar os últimos três dígitos de
”. Isso cai direitinho em Aritmética Modular (congruências) e propriedades de potências. Vamos usar a dica dada, que é
Ou seja, precisamos entender congruências, como simplificar potências módulo 1000 e o fato de que termos com
ou mais são múltiplos de 1000.
Passo 2
Primeiro, a gente divide o expoente 999 em “um múltiplo de 4” mais um resto:
Isso significa
Passo 3
Pela dica, como
e
, a gente tem
Logo
Passo 4
Agora expandimos
pelo Teorema Binomial. Mas todos os termos que envolvem
ou mais são múltiplos de
, aí já são múltiplos de 1000 e viram 0 no módulo. Então só sobra o primeiro e o segundo termos:
Passo 5
Calcular
:
Então
Passo 6
Não esquece que a gente ainda precisa multiplicar por
. Sabemos
, então
Passo 7
Basta calcular
:
Resposta
Os últimos três dígitos de
são 143.