Prove que um número é divisível por 5 se e somente se seu dígito das unidades é 0 ou 5.
Passo 1
Beleza, a parada aqui é provar que um inteiro
é múltiplo de 5 se, e só se, o seu dígito das unidades for 0 ou 5. Isso faz parte de divisibilidade e congruência módulo um número. Pra resolver a gente vai usar:
- representação decimal: qualquer
pode ser escrito como
onde
é outro inteiro e
é o dígito das unidades;
2) propriedade de módulo: , logo
;
3) raciocínio de “se e somente se” quebrado em duas direções.
2) propriedade de módulo:
3) raciocínio de “se e somente se” quebrado em duas direções.
Passo 2
Vamos provar primeiro: “se o dígito das unidades
é 0 ou 5, então
é divisível por 5.”
• Escrevendo .
• Se , então
. Como
,
é múltiplo de 5, logo
.
• Se , então
. Claramente também um múltiplo de 5.
Logo, em qualquer um dos casos, .
• Escrevendo
• Se
• Se
Logo, em qualquer um dos casos,
Passo 3
Agora a outra direção: “se
é divisível por 5, então o dígito das unidades
é 0 ou 5.”
• De novo . Se
, então
.
• Mas , então ao subtrair isso temos
• De novo
• Mas
• Aí vem o pulo do gato:
é um número entre 0 e 9, e é congruente a 0 módulo 5. Os únicos
nesse intervalo que satisfazem
são exatamente 0 e 5.
Resposta
Logo, mostramos as duas direções e concluímos que um número é divisível por 5 se, e somente se, seu dígito das unidades for 0 ou 5.