Prove que um número é divisível por 5 se e somente se seu dígito das unidades é 0 ou 5.

Passo 1

Beleza, a parada aqui é provar que um inteiro n = 10k + d, é múltiplo de 5 se, e só se, o seu dígito das unidades for 0 ou 5. Isso faz parte de divisibilidade e congruência módulo um número. Pra resolver a gente vai usar:
  1. representação decimal: qualquer pode ser escrito como
onde é outro inteiro e é o dígito das unidades;
2) propriedade de módulo: , logo ;
3) raciocínio de “se e somente se” quebrado em duas direções.

Passo 2

Vamos provar primeiro: “se o dígito das unidades é 0 ou 5, então é divisível por 5.”
• Escrevendo .
• Se , então . Como , é múltiplo de 5, logo .
• Se , então . Claramente também um múltiplo de 5.
Logo, em qualquer um dos casos, .

Passo 3

Agora a outra direção: “se n - 10k = d equiv 0 pmod5 é divisível por 5, então o dígito das unidades é 0 ou 5.”
• De novo . Se , então .
• Mas , então ao subtrair isso temos
• Aí vem o pulo do gato: é um número entre 0 e 9, e é congruente a 0 módulo 5. Os únicos nesse intervalo que satisfazem são exatamente 0 e 5.

Resposta

Logo, mostramos as duas direções e concluímos que um número é divisível por 5 se, e somente se, seu dígito das unidades for 0 ou 5.

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