Resolva as congruências lineares:
25 x equiv 15(bmod 29).

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Resolva a congruência
25x equiv 15 pmod29
Isso faz parte de congruências lineares (modular arithmetic). Para resolver precisamos:
  1. Verificar se existe solução (checar o máximo divisor comum, m.d.c.)
  2. Se existir, achar o inverso de 25 módulo 29 (usando o Algoritmo de Euclides Estendido)
  3. Multiplicar ambos os lados pelo inverso encontrado

Passo 2

Primeiro a gente vê se a equação tem solução. A regra diz que a congruência
a x equiv b pmodn
tem solução sse divide . Aqui , e .
Calculemos com o Algoritmo de Euclides:
29 = 25·1 + 4
25 = 4·6 + 1
4 = 1·4 + 0
Logo .
Como 1 divide 15, existe solução única módulo 29.

Passo 3

Com 25cdot 7 equiv 1 pmod29, sabemos que 25 tem inverso em . Vamos achar esse inverso via Euclides Estendido:
1 = 25 − 4·6
e como 4 = 29 − 25·1, substituímos:
1 = 25 − 6(29 − 25) = 25·7 − 29·6.
Isso mostra que
ou seja, o inverso de 25 modulo 29 é 7.

Passo 4

Agora multiplica a congruência original por 7 dos dois lados:
7cdot(25x) equiv 7cdot 15 pmod29 Longrightarrow x equiv 105 pmod29
Basta reduzir módulo 29:
, então .

Resposta

boxedx equiv 18 pmod29

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