Encontre o valor mínimo do polinômio
, onde
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede o valor mínimo do polinômio
para
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão explícita de
. - A variável
varia em todos os reais.
Objetivo claro: encontrar o menor valor possível queassume e, se for útil, o onde isso acontece.
Passo 2
Observação útil (motivo da técnica escolhida): as parcelas aparecem em pares centrados simetricamente:
e
estão ao redor de
, e
e
também têm centro em
. Quando há simetria assim é vantajoso fazer a mudança de variável que centraliza esses termos. Defino
Essa escolha centraliza os pares:
,
,
,
.
Passo 3
Calcular
em termos de
. Usando
e
e a identidade
com
e
, obtemos
(Detalhe dos coeficientes:
.)
Passo 4
Calcular
em termos de
. Como
e
, usamos
com
. Assim
Note que
.
Passo 5
Somando as contribuições do Passo 3 e do Passo 4, obtemos
em função de
:
Agrupando termos semelhantes:
Calcule a constante:
, então
. Portanto
com
.
Passo 6
Como
, é natural definir
(isso tira a paridade da potência quarta e transforma o problema numa minimização em
). Substituindo
obtemos a função em
:
Explicando: a função original é par em
(só aparecem
e
), então depende apenas de
.
Passo 7
Minimizar a quadrática
no intervalo
. Primeiro, a parábola tem concavidade positiva (coeficiente de
é
), então o vértice dá o mínimo da parábola inteira. O vértice ocorre em
Como
e
deve ser
, o mínimo restrito a
ocorre na fronteira
. Alternativamente pode-se derivar
, resolver
dá
(não permitido), e então checar o comportamento em
e em
; claramente
é o mínimo admissível.
Passo 8
Avaliar
em
(isto é,
). Substituindo em
:
O valor de
que alcança esse mínimo vem de
. Verificação rápida: em
tem-se
e
, cuartas potências pequenas, e os quadrados de
e
iguais a
cada uma, totalizando exatamente
.