Encontre o valor mínimo do polinômio P(x)=x^{2}+(x+3)^{4}+(x+4)^{4}+(x+7)^{2}, onde x é um número real.

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo do polinômio P(x)=x^{2}+(x+3)^{4}+(x+4)^{4}+(x+7)^{2} para x\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
  • A expressão explícita de P(x).
  • A variável x varia em todos os reais.
    Objetivo claro: encontrar o menor valor possível que P(x) assume e, se for útil, o x onde isso acontece.

Passo 2

Observação útil (motivo da técnica escolhida): as parcelas aparecem em pares centrados simetricamente: (x+3) e (x+4) estão ao redor de -3{,}5, e x e x+7 também têm centro em -3{,}5. Quando há simetria assim é vantajoso fazer a mudança de variável que centraliza esses termos. Defino
y = x + \tfrac{7}{2} = x + 3{,}5.
Essa escolha centraliza os pares: x = y - \tfrac{7}{2}, x+7 = y + \tfrac{7}{2}, x+3 = y - \tfrac{1}{2}, x+4 = y + \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calcular (x+3)^{4}+(x+4)^{4} em termos de y. Usando x+3 = y-\tfrac{1}{2} e x+4 = y+\tfrac{1}{2} e a identidade
(a+b)^{4}+(a-b)^{4}=2\bigl(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4}\bigr),
com a=y e b=\tfrac{1}{2}, obtemos
(x+3)^{4}+(x+4)^{4}=(y-\tfrac{1}{2})^{4}+(y+\tfrac{1}{2})^{4} =2y^{4}+3y^{2}+\tfrac{1}{8}.
(Detalhe dos coeficientes: 6a^{2}b^{2}=6y^{2}\cdot(\tfrac{1}{2})^{2}=6y^{2}\cdot\tfrac{1}{4}= \tfrac{6}{4}y^{2}= \,3y^{2}.)

Passo 4

Calcular x^{2}+(x+7)^{2} em termos de y. Como x=y-\tfrac{7}{2} e x+7=y+\tfrac{7}{2}, usamos
(y-a)^{2}+(y+a)^{2}=2(y^{2}+a^{2}),
com a=\tfrac{7}{2}. Assim
x^{2}+(x+7)^{2}= (y-\tfrac{7}{2})^{2}+(y+\tfrac{7}{2})^{2}=2y^{2}+2\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^{2} =2y^{2}+2\cdot\tfrac{49}{4}=2y^{2}+ \tfrac{49}{2}.
Note que \tfrac{49}{2}=24{,}5.

Passo 5

Somando as contribuições do Passo 3 e do Passo 4, obtemos P em função de y:
P(x)=2y^{4}+3y^{2}+\tfrac{1}{8}+2y^{2}+\tfrac{49}{2}.
Agrupando termos semelhantes:
P(x)=2y^{4}+5y^{2}+\Bigl(\tfrac{49}{2}+\tfrac{1}{8}\Bigr).
Calcule a constante: \tfrac{49}{2}=\tfrac{196}{8}, então \tfrac{196}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{197}{8}. Portanto
\boxed{\,P(x)=2y^{4}+5y^{2}+\tfrac{197}{8}\,}
com y=x+\tfrac{7}{2}.

Passo 6

Como y^{2}\ge 0, é natural definir t=y^{2} (isso tira a paridade da potência quarta e transforma o problema numa minimização em t\ge0). Substituindo t=y^{2} obtemos a função em t:
P=2t^{2}+5t+\tfrac{197}{8},\qquad t\ge 0.
Explicando: a função original é par em y (só aparecem y^{2} e y^{4}), então depende apenas de t=y^{2}.

Passo 7

Minimizar a quadrática Q(t)=2t^{2}+5t+\tfrac{197}{8} no intervalo t\ge 0. Primeiro, a parábola tem concavidade positiva (coeficiente de t^{2} é 2>0), então o vértice dá o mínimo da parábola inteira. O vértice ocorre em
t^{*}=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}=-1{,}25.
Como t^{*}<0 e t deve ser \ge 0, o mínimo restrito a t\ge 0 ocorre na fronteira t=0. Alternativamente pode-se derivar Q'(t)=4t+5, resolver Q'(t)=0 t=-5/4 (não permitido), e então checar o comportamento em t=0 e em t\to\infty; claramente t=0 é o mínimo admissível.

Passo 8

Avaliar P em t=0 (isto é, y=0). Substituindo em P=2t^{2}+5t+\tfrac{197}{8}:
P_{\min}=2\cdot 0^{2}+5\cdot 0+\tfrac{197}{8}=\tfrac{197}{8}.
O valor de x que alcança esse mínimo vem de y=0\Rightarrow x+ \tfrac{7}{2}=0\Rightarrow x=-\tfrac{7}{2}. Verificação rápida: em x=-\tfrac{7}{2} tem-se (x+3)= -\tfrac{1}{2} e (x+4)=\tfrac{1}{2}, cuartas potências pequenas, e os quadrados de x e x+7 iguais a 12{,}25 cada uma, totalizando exatamente \tfrac{197}{8}.

Resposta

\tfrac{197}{8}

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