Encontre o coeficiente de
no polinômio
.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
ou seja, o produto de
fatores da forma
com
O que o problema pede é: encontrar o coeficiente de
em
.
Passo 2
Ideia-chave (explicada passo a passo): ao multiplicar todos esses factores, um termo
aparece quando escolhemos o termo linear
de exatamente dois fatores e escolhemos o
dos outros fatores. Portanto o coeficiente de
é a soma de todos os produtos
com
. Em notação:
Isso vem da contagem de todas as maneiras de pegar dois fatores lineares e o resto 1.
Passo 3
Para computar
é prático usar a identidade algébrica que relaciona o quadrado da soma com a soma dos quadrados:
Rearranjando, obtemos a fórmula útil:
Passo 4
Calcular a soma dos
. Os
são os primeiros
números ímpares, que podem ser escritos como
para
. A soma é uma progressão aritmética com primeiro termo
, último termo
e
termos. Logo:
Denotando
, temos
.
Passo 5
Calcular a soma dos quadrados
. Usando
,
Separando somas:
Agora usamos fórmulas conhecidas:
Substituindo:
Portanto
.
Passo 6
Aplicar a fórmula do Passo 3 com
e
:
Esse valor é, por definição, o coeficiente do termo
em
.