Encontre o coeficiente de x^{2} no polinômio p(x)=(1+x)(1+3 x)(1+5 x)(1+7 x) \ldots(1+19 x).

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=(1+x)(1+3x)(1+5x)\cdots(1+19x)
ou seja, o produto de 10 fatores da forma 1+a_i x com
a_1=1,\\ a_2=3,\\ a_3=5,\\ \dots,\\ a_{10}=19.
O que o problema pede é: encontrar o coeficiente de x^{2} em p(x).

Passo 2

Ideia-chave (explicada passo a passo): ao multiplicar todos esses factores, um termo x^{2} aparece quando escolhemos o termo linear a_i x de exatamente dois fatores e escolhemos o 1 dos outros fatores. Portanto o coeficiente de x^{2} é a soma de todos os produtos a_i a_j com i<j. Em notação:
\text{o coeficiente de }x^{2}=\sum_{1\le i<j\le 10} a_i a_j.
Isso vem da contagem de todas as maneiras de pegar dois fatores lineares e o resto 1.

Passo 3

Para computar \sum_{i<j}a_i a_j é prático usar a identidade algébrica que relaciona o quadrado da soma com a soma dos quadrados:
\left(\sum_{i=1}^{10} a_i\right)^{2}=\sum_{i=1}^{10} a_i^{2}+2\sum_{1\le i<j\le 10} a_i a_j.
Rearranjando, obtemos a fórmula útil:
\sum_{1\le i<j\le 10} a_i a_j=\frac{1}{2}\left(\left(\sum_{i=1}^{10} a_i\right)^{2}-\sum_{i=1}^{10} a_i^{2}\right).

Passo 4

Calcular a soma dos a_i. Os a_i são os primeiros 10 números ímpares, que podem ser escritos como a_k=2k-1 para k=1,\dots,10. A soma é uma progressão aritmética com primeiro termo 1, último termo 19 e 10 termos. Logo:
\sum_{i=1}^{10} a_i = \frac{(1+19)\cdot 10}{2}=10\cdot 10=100.
Denotando S=\sum_{i=1}^{10} a_i, temos S=100.

Passo 5

Calcular a soma dos quadrados \sum a_i^{2}. Usando a_k=(2k-1),
\sum_{k=1}^{10} a_k^{2}=\sum_{k=1}^{10} (2k-1)^{2}=\sum_{k=1}^{10} (4k^{2}-4k+1).
Separando somas:
\sum_{k=1}^{10} (4k^{2}-4k+1)=4\sum_{k=1}^{10} k^{2} -4\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1.
Agora usamos fórmulas conhecidas:
\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10\cdot 11}{2}=55, \qquad \sum_{k=1}^{10} k^{2}=\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}=385, \qquad \sum_{k=1}^{10} 1=10.
Substituindo:
\sum_{k=1}^{10} a_k^{2}=4\cdot 385 -4\cdot 55 +10 =1540-220+10=1330.
Portanto \sum_{i=1}^{10} a_i^{2}=1330.

Passo 6

Aplicar a fórmula do Passo 3 com S=100 e \sum a_i^{2}=1330:
\sum_{1\le i<j\le 10} a_i a_j=\frac{1}{2}\left(S^{2}-\sum a_i^{2}\right) =\frac{1}{2}\left(100^{2}-1330\right)=\frac{1}{2}\cdot 8670=4335.
Esse valor é, por definição, o coeficiente do termo x^{2} em p(x).

Resposta

4335

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