Se x, y e z são as raízes reais da equação 2 u^{3}-799 u^{2}-400 u-1=0 e w=\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arctg}(y)+\operatorname{arctg}(z). Sabendo que o valor da \operatorname{tg}(w) pode ser escrito da forma \frac{a}{b} com a e b números inteiros positivos primos entre si, calcule o valor de a+b.

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial
2u^{3}-799u^{2}-400u-1=0
cuja raízes reais são x,\;y,\;z. Define-se
w=\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arctg}(y)+\operatorname{arctg}(z).
Pede-se o valor de \operatorname{tg}(w) escrito como \dfrac{a}{b} com a,b inteiros positivos primos entre si, e então calcular a+b.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio tem coeficientes a=2,\;b=-799,\;c=-400,\;d=-1 (no padrão au^3+bu^2+cu+d).
  • As incógnitas a manipular serão as somas simétricas x+y+z,\;xy+yz+zx,\;xyz (porque aparecerão na identidade da tangente da soma de três arcos).

Passo 2

Vamos obter a fórmula que liga \tan(A+B+C) com \tan A,\tan B,\tan C. Primeiro a identidade para soma de dois ângulos:
\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}.
Agora apliquei isso para \tan((A+B)+C). Defina t_1=\tan A,\;t_2=\tan B,\;t_3=\tan C. Então
\tan(A+B)=\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2}.
Aplicando a fórmula de soma novamente,
\tan(A+B+C)=\tan((A+B)+C)= \dfrac{\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2}+t_3}{1-\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2}\,t_3}.
Agora simplifico essa fração. Coloco tudo sobre o denominador comum 1-t_1t_2:
\tan(A+B+C)= \dfrac{\dfrac{t_1+t_2 + t_3(1-t_1t_2)}{1-t_1t_2}} {\dfrac{1-t_1t_2 - t_3(t_1+t_2)}{1-t_1t_2}}.
As frações com mesmo denominador cancelam, sobrando
\tan(A+B+C)= \dfrac{t_1+t_2+t_3 - t_1t_2t_3}{1-(t_1t_2+t_1t_3+t_2t_3)}.
Portanto, para três tangentes t_1,t_2,t_3 vale a fórmula:
\tan(A+B+C)=\dfrac{t_1+t_2+t_3 - t_1t_2t_3}{1-(t_1t_2+t_1t_3+t_2t_3)}.

Passo 3

Aplicando a fórmula anterior com t_1=x,\;t_2=y,\;t_3=z (pois x=\tan(\operatorname{arctg}x), etc.), obtemos
\operatorname{tg}(w)=\tan(w)= \dfrac{x+y+z - xyz}{1-(xy+yz+zx)}.
Logo, para calcular \tan(w) basta conhecer as somas simétricas x+y+z,\;xy+yz+zx,\;xyz.

Passo 4

Usamos relações de Viète para obter essas somas a partir dos coeficientes do polinômio 2u^3-799u^2-400u-1=0. Para um polinômio au^3+bu^2+cu+d=0 com raízes r_1,r_2,r_3 vale:
r_1+r_2+r_3=-\dfrac{b}{a},\qquad r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=\dfrac{c}{a},\qquad r_1r_2r_3=-\dfrac{d}{a}.
Aqui a=2,\;b=-799,\;c=-400,\;d=-1. Portanto:
x+y+z=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-799}{2}=\dfrac{799}{2},
xy+yz+zx=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-400}{2}=-200,
xyz=-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{2}.
(Verificação mental: sinais e divisões conferem com a fórmula.)

Passo 5

Substituo esses valores na fórmula de \tan(w):
numerador:
x+y+z-xyz=\dfrac{799}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{798}{2}=\;399.
denominador:
1-(xy+yz+zx)=1-(-200)=1+200=201.
Logo
\operatorname{tg}(w)=\tan(w)=\dfrac{399}{201}.

Passo 6

Agora simplifico a fração \dfrac{399}{201}. Ambos os números são divisíveis por 3:
399\div 3=133,\qquad 201\div 3=67.
Fica \dfrac{133}{67}. O número 67 é primo e não divide 133 (pois 133=7\cdot19), então \gcd(133,67)=1. Portanto a escrita irredutível é \dfrac{a}{b}=\dfrac{133}{67} com a=133,\;b=67.
Finalmente a+b=133+67=200.

Resposta

200

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