Se
e
são as raízes reais da equação
e
. Sabendo que o valor da
pode ser escrito da forma
com a e b números inteiros positivos primos entre si, calcule o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação polinomial
cuja raízes reais são
. Define-se
Pede-se o valor de
escrito como
com
inteiros positivos primos entre si, e então calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O polinômio tem coeficientes
(no padrão ). - As incógnitas a manipular serão as somas simétricas
(porque aparecerão na identidade da tangente da soma de três arcos).
Passo 2
Vamos obter a fórmula que liga
com
. Primeiro a identidade para soma de dois ângulos:
Agora apliquei isso para
. Defina
. Então
Aplicando a fórmula de soma novamente,
Agora simplifico essa fração. Coloco tudo sobre o denominador comum
:
As frações com mesmo denominador cancelam, sobrando
Portanto, para três tangentes
vale a fórmula:
Passo 3
Aplicando a fórmula anterior com
(pois
, etc.), obtemos
Logo, para calcular
basta conhecer as somas simétricas
.
Passo 4
Usamos relações de Viète para obter essas somas a partir dos coeficientes do polinômio
. Para um polinômio
com raízes
vale:
Aqui
. Portanto:
(Verificação mental: sinais e divisões conferem com a fórmula.)
Passo 5
Substituo esses valores na fórmula de
:
numerador:
numerador:
denominador:
Logo
Passo 6
Agora simplifico a fração
. Ambos os números são divisíveis por
:
Fica
. O número
é primo e não divide
(pois
), então
. Portanto a escrita irredutível é
com
.
Finalmente
.
Resposta
200