Encontre os valores numéricos de a e b tal que o polinômio Q(x)=x^{2}-x-1 seja um fator do polinômio P(x)=a x^{10}+b x^{9}+1.

Passo 1

O enunciado dá os polinômios Q(x)=x^{2}-x-1 e P(x)=a x^{10}+b x^{9}+1 e pede: encontrar os valores numéricos de a e b tais que Q(x) seja um fator de P(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Q(x)=x^{2}-x-1.
  • P(x)=a x^{10}+b x^{9}+1.
  • Queremos Q(x) como fator de P(x), isto é, Q(x)\mid P(x).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): se Q(x) é fator de P(x), então as raízes de Q são raízes de P. Assim, para qualquer raiz r de Q devemos ter P(r)=0. Vou usar isso para obter equações em a e b. Não vou assumir nada além do que o enunciado dá.

Passo 3

Encontre a relação que as raízes de Q satisfazem. Se r é raiz de Q então
r^{2}-r-1=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=r+1.
Essa igualdade é a ferramenta que permite reduzir potências altas de r (como r^{9},r^{10}) para expressões lineares em r e constantes.

Passo 4

Vamos deduzir uma identidade útil que expressa r^{n} em função de r e constantes pequenas. Defina a sequência de Fibonacci por:
F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_n = F_{n-1}+F_{n-2}\\ \text{ para } n\ge2.
Vou mostrar por indução que, para toda n\ge1,
r^{n}=F_{n}\,r + F_{n-1}.
Base n=1: r^{1}=1\cdot r + 0 = F_1 r + F_0, ok.
Passo indutivo: suponha válido para n=k e n=k-1:
r^{k}=F_{k}r+F_{k-1},\qquad r^{k-1}=F_{k-1}r+F_{k-2}.
Então
r^{k+1}=r\cdot r^{k}=r(F_{k}r+F_{k-1})=F_{k}r^{2}+F_{k-1}r.
Usando r^{2}=r+1,
r^{k+1}=F_{k}(r+1)+F_{k-1}r=(F_{k}+F_{k-1})r+F_{k}=F_{k+1}r+F_{k},
que é a fórmula para n=k+1. Logo a identidade vale para todo n\ge1.

Passo 5

Calcule os Fibonacci necessários. Usando a sequência:
F_0=0,\;F_1=1,\;F_2=1,\;F_3=2,\;F_4=3,\;F_5=5,\;F_6=8,\;F_7=13,\;F_8=21,\;F_9=34,\;F_{10}=55.

Passo 6

Expresse r^{9} e r^{10} pela identidade:
r^{9}=F_{9}\,r+F_{8}=34\,r+21, \qquad r^{10}=F_{10}\,r+F_{9}=55\,r+34.

Passo 7

Como r é raiz de Q e queremos Q\mid P, devemos ter P(r)=0. Substituindo as expressões:
0=P(r)=a r^{10}+b r^{9}+1 = a(55r+34)+b(34r+21)+1.
Agrupando termos em r e constantes:
0=(55a+34b)\,r + (34a+21b+1).

Passo 8

Argumento sobre os coeficientes: a expressão anterior é uma combinação linear de r e 1. Como 1 e r são base do espaço dos polinômios em r de grau <2 (ou, dito de outra forma, a representação A r + B com A,B\in\mathbb{Q} é única), para que essa combinação seja nula para as raízes de Q é necessário que os coeficientes sejam zero. Portanto obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 55a+34b=0,\\[4pt] 34a+21b+1=0. \end{cases}]

Passo 9

Resolva o sistema. Da primeira equação:
55a+34b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac{34}{55}\,b.
Substitua na segunda:
34\!\left(-\dfrac{34}{55}b\right)+21b+1=0.
Calcule os coeficientes com denominador 55:
-\dfrac{1156}{55}b + \dfrac{1155}{55}b +1 =0
pois 21b=\dfrac{1155}{55}b. Assim
-\dfrac{1}{55}b +1 =0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{1}{55}b = -1 \quad\Rightarrow\quad b=55.
Agora volte para a:
a=-\dfrac{34}{55}\,b = -\dfrac{34}{55}\cdot 55 = -34.

Passo 10

Cheque rápido (sanidade): da primeira equação 55a+34b=55(-34)+34(55)= -1870+1870=0. Da segunda 34a+21b+1=34(-34)+21(55)+1=-1156+1155+1=0. Está consistente.

Resposta

a=-34
b=55

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