Encontre os valores numéricos de
e
tal que o polinômio
seja um fator do polinômio
.
Passo 1
O enunciado dá os polinômios
e
e pede: encontrar os valores numéricos de
e
tais que
seja um fator de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Queremos
como fator de , isto é, .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): se
é fator de
, então as raízes de
são raízes de
. Assim, para qualquer raiz
de
devemos ter
. Vou usar isso para obter equações em
e
. Não vou assumir nada além do que o enunciado dá.
Passo 3
Encontre a relação que as raízes de
satisfazem. Se
é raiz de
então
Essa igualdade é a ferramenta que permite reduzir potências altas de
(como
) para expressões lineares em
e constantes.
Passo 4
Vamos deduzir uma identidade útil que expressa
em função de
e constantes pequenas. Defina a sequência de Fibonacci por:
Vou mostrar por indução que, para toda
,
Base
:
, ok.
Passo indutivo: suponha válido para e
:
Passo indutivo: suponha válido para
Então
Usando
,
que é a fórmula para
. Logo a identidade vale para todo
.
Passo 5
Calcule os Fibonacci necessários. Usando a sequência:
Passo 6
Expresse
e
pela identidade:
Passo 7
Como
é raiz de
e queremos
, devemos ter
. Substituindo as expressões:
Agrupando termos em
e constantes:
Passo 8
Argumento sobre os coeficientes: a expressão anterior é uma combinação linear de
e
. Como
e
são base do espaço dos polinômios em
de grau <2 (ou, dito de outra forma, a representação
com
é única), para que essa combinação seja nula para as raízes de
é necessário que os coeficientes sejam zero. Portanto obtemos o sistema linear:
Passo 9
Resolva o sistema. Da primeira equação:
Substitua na segunda:
Calcule os coeficientes com denominador
:
pois
. Assim
Agora volte para
:
Passo 10
Cheque rápido (sanidade): da primeira equação
. Da segunda
. Está consistente.