Seja \mathrm{P}(\mathrm{x}) um polinômio de grau 6 que satisfaz a relação P(k)=k ! para k=0,1,2,3,4,5,6. Considere S a soma dos algarismos do valor de P(7), determine o valor de S .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(x) é um polinômio de grau 6.
  • Para k=0,1,2,3,4,5,6 vale P(k)=k!.
    A pergunta é: calcular S, a soma dos algarismos do número P(7).

Passo 2

Estratégia escolhida (sem pular teoria): polinômios de grau até 6 são determinados pelos seus valores em sete pontos distintos; para trabalhar com valores em inteiros consecutivos é muito eficiente usar diferenças finitas e a fórmula de Newton para o polinômio no formato das combinações binomiais. A ideia-chave:
  • Definir as diferenças progressivas \Delta f(k)=f(k+1)-f(k) e continuar até \Delta^6 f.
  • Para um polinômio f de grau \le 6 vale a identidade (fórmula de Newton para base binomial):
f(x)=\sum_{i=0}^{6}\Delta^{i}f(0)\,\binom{x}{i},
onde \binom{x}{i} é o polinômio binomial de grau i. Em particular,
f(7)=\sum_{i=0}^{6}\Delta^{i}f(0)\,\binom{7}{i}.
Aqui podemos aplicar com f(k)=P(k)=k! para k=0,\dots,6, pois P tem grau \le6 e coincide com k! nesses pontos, então as diferenças de P em 0 são as mesmas das de k!.

Passo 3

Calcular os valores \,k!\, para k=0,\dots,6 (isto vem do enunciado):
\begin{array}{l} P(0)=0!=1,\\\ P(1)=1!=1,\\\ P(2)=2!=2,\\\ P(3)=3!=6,\\\ P(4)=4!=24,\\\ P(5)=5!=120,\\\ P(6)=6!=720. \end{array}

Passo 4

Construir a tabela de diferenças finitas (cada linha é uma ordem maior de diferença). Vou mostrar as contas passo a passo.
Primeiras diferenças \Delta^1:
\begin{array}{l} \Delta^1 P(0)=P(1)-P(0)=1-1=0,\\\ \Delta^1 P(1)=2-1=1,\\\ \Delta^1 P(2)=6-2=4,\\\ \Delta^1 P(3)=24-6=18,\\\ \Delta^1 P(4)=120-24=96,\\\ \Delta^1 P(5)=720-120=600. \end{array}
Segundas diferenças \Delta^2:
\begin{array}{l} \Delta^2 P(0)=1-0=1,\\\ \Delta^2 P(1)=4-1=3,\\\ \Delta^2 P(2)=18-4=14,\\\ \Delta^2 P(3)=96-18=78,\\\ \Delta^2 P(4)=600-96=504. \end{array}
Terceiras diferenças \Delta^3:
\begin{array}{l} \Delta^3 P(0)=3-1=2,\\\ \Delta^3 P(1)=14-3=11,\\\ \Delta^3 P(2)=78-14=64,\\\ \Delta^3 P(3)=504-78=426. \end{array}
Quartas diferenças \Delta^4:
\begin{array}{l} \Delta^4 P(0)=11-2=9,\\\ \Delta^4 P(1)=64-11=53,\\\ \Delta^4 P(2)=426-64=362. \end{array}
Quintas diferenças \Delta^5:
\begin{array}{l} \Delta^5 P(0)=53-9=44,\\\ \Delta^5 P(1)=362-53=309. \end{array}
Sexta diferença \Delta^6:
\Delta^6 P(0)=309-44=265.
Resumo das diferenças em 0:
\begin{array}{l} \Delta^0 P(0)=P(0)=1,\\\ \Delta^1 P(0)=0,\\\ \Delta^2 P(0)=1,\\\ \Delta^3 P(0)=2,\\\ \Delta^4 P(0)=9,\\\ \Delta^5 P(0)=44,\\\ \Delta^6 P(0)=265. \end{array}

Passo 5

Aplicar a fórmula de Newton para x=7:
P(7)=\sum_{i=0}^{6}\Delta^{i}P(0)\,\binom{7}{i}.
Os coeficientes binomiais são
\binom{7}{0}=1,\quad \binom{7}{1}=7,\quad \binom{7}{2}=21,\quad \binom{7}{3}=35,\quad \binom{7}{4}=35,\quad \binom{7}{5}=21,\quad \binom{7}{6}=7.

Passo 6

Calcular cada termo e somar (uso os \Delta^{i}P(0) obtidos):
\begin{aligned} P(7)&=1\cdot\binom{7}{0}+0\cdot\binom{7}{1}+1\cdot\binom{7}{2}+2\cdot\binom{7}{3}+9\cdot\binom{7}{4}+44\cdot\binom{7}{5}+265\cdot\binom{7}{6}\\[4pt] &=1\cdot 1 + 0\cdot 7 + 1\cdot 21 + 2\cdot 35 + 9\cdot 35 + 44\cdot 21 + 265\cdot 7. \end{aligned}
Agora as multiplicações:
\begin{array}{l} 1\cdot 1 = 1,\\\\ 0\cdot 7 = 0,\\\\ 1\cdot 21 = 21,\\\\ 2\cdot 35 = 70,\\\\ 9\cdot 35 = 315,\\\\ 44\cdot 21 = 924,\\\\ 265\cdot 7 = 1855. \end{array}
Somando:
P(7)=1+0+21+70+315+924+1855=3186.]

Passo 7

Calcular S, a soma dos algarismos de P(7)=3186:
S=3+1+8+6=18.

Resposta

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