Seja
um polinômio de grau 6 que satisfaz a relação
! para
. Considere S a soma dos algarismos do valor de
, determine o valor de S .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um polinômio de grau . - Para
vale .
A pergunta é: calcular, a soma dos algarismos do número .
Passo 2
Estratégia escolhida (sem pular teoria): polinômios de grau até
são determinados pelos seus valores em sete pontos distintos; para trabalhar com valores em inteiros consecutivos é muito eficiente usar diferenças finitas e a fórmula de Newton para o polinômio no formato das combinações binomiais. A ideia-chave:
- Definir as diferenças progressivas
e continuar até . - Para um polinômio
de grau vale a identidade (fórmula de Newton para base binomial):
onde
é o polinômio binomial de grau
. Em particular,
Aqui podemos aplicar com
para
, pois
tem grau
e coincide com
nesses pontos, então as diferenças de
em
são as mesmas das de
.
Passo 3
Calcular os valores
para
(isto vem do enunciado):
Passo 4
Construir a tabela de diferenças finitas (cada linha é uma ordem maior de diferença). Vou mostrar as contas passo a passo.
Primeiras diferenças
:
Segundas diferenças
:
Terceiras diferenças
:
Quartas diferenças
:
Quintas diferenças
:
Sexta diferença
:
Resumo das diferenças em
:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Newton para
:
Os coeficientes binomiais são
Passo 6
Calcular cada termo e somar (uso os
obtidos):
Agora as multiplicações:
Somando:
Passo 7
Calcular
, a soma dos algarismos de
:
Resposta
18