Encontre o zero das seguintes funções pelo método de Newton-Raphson e o método da Secante com epsilon=0.0005 ou até seis iterações (i.e., k=6 ):
f(x)=2 x^3+ln (x)-5 no intervalo [1,2]

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a raiz da função
f(x)=2x^3+ln(x)-5
no intervalo [1,2], usando dois métodos numéricos: Newton–Raphson e Secante.
Conteúdo: métodos iterativos para encontrar zeros de f(x).
O que vamos precisar:
- Saber a fórmula de iteração de Newton–Raphson:
xk+1=xk-f(xk)f'(xk)
  • Saber a fórmula de iteração da Secante: xk+1=xk-;f(xk),xk-xk-1f(xk)-f(xk-1),
    - Derivar f(x):
    f'(x)=6x^2+1x
  • Critério de paragem: parar quando |xk+1-xk| ou ao chegar em 6 iterações.

Passo 2

Resolvendo por Newton–Raphson
  1. Defino x0=1,5 (um chute no meio do intervalo).
  2. Itero até atingir a tolerância ou 6 passos:
k=0 → x₀=1.5000
  • f(x0)=2(1.5)^3+ln(1.5)-5=2.1555
  • f'(x0)=6(1.5)^2+1/1.5=14.1667
  • x1=x0-2.155514.1667=1.3478
k=1 → x₁=1.3478
  • f(x1)=0.1950,;f'(x1)=11.6442
  • x2=1.3478-0.195011.6442=1.3310
    - |x2-x1|=0.0168>0.0005, (ainda não parou)
k=2 → x₂=1.3310
  • f(x2)=0.0016,;f'(x2)=11.3795
  • x3=1.3310-0.001611.3795=1.3309
    - |x3-x2|=0.0001<0.0005, (critério satisfeito)
Parou na 3ª iteração (menor que 6) com xapprox1.3309.

Passo 3

Resolvendo pelo Método da Secante
  1. Escolho x0=1.0000 e x1=2.0000.
  2. Aplico a fórmula até k=6 ou atingir epsilon:
k=1 →
  • f(x0)=-3.0000,;f(x1)=11.6931
  • x2=2.0000-!11.6931,2.0000-1.000011.6931-(-3.0000)=1.2040
k=2 →
  • f(x2)=-1.3190
  • x3=1.2040-!(-1.3190),1.2040-2.0000-1.3190-11.6931=1.2847
k=3 →
  • f(x3)=-0.5050
  • x4=1.2847-!(-0.5050),1.2847-1.2040-0.5050-(-1.3190)=1.3348
k=4 →
  • f(x4)=0.0440
  • x5=1.3348-0.0440,1.3348-1.28470.0440-(-0.5050)=1.3308
k=5 →
  • f(x5)=0.0017
  • x6=1.3308-0.0017,1.3308-1.33480.0017-0.0440=1.3307
    - |x6-x5|=0.0001<0.0005 (parou na 6ª iteração)

Resposta

• Newton–Raphson: xapprox1.3309
• Secante: xapprox1.3307

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