Encontre o zero das seguintes funções pelo método de Newton-Raphson e o método da Secante com epsilon=0.0005 ou até seis iterações (i.e., k=6 ):
f(x)=x^3-cos (x) no intervalo [0,1]

Passo 1

Beleza, o que rolou aqui é: a gente quer achar o zero (raiz) da função
f(x) = x^3 - cos(x)
no intervalo , usando dois métodos numéricos clássicos: Newton–Raphson e a Secante. O critério de parada é quando a diferença entre duas iteradas consecutivas for menor que ou quando a gente chegar a 6 iterações. Para isso, precisamos lembrar da definição de derivada (pro Newton) e da fórmula de cada método.

Passo 2

Método de Newton–Raphson
  1. Teoria: a ideia é usar a reta tangente para “pular” de uma aproximação xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) para a próxima f'(x) = 3x^2 + sin(x) pela fórmula
Aqui é a derivada de . Derivando temos
  1. Chute inicial: a gente pode começar em (metade do intervalo).

Passo 3

Vamos iterar até x1 = 0.5 - -0.752581.22943 approx 1.1122 ou x2 = 1.1122 - 0.93154.6071 approx 0.9100 :
  • Iteração 1:
    x3 = 0.9100 - 0.13963.2747 approx 0.8674 x4 = 0.8674 - 0.00523.0186 approx 0.8657,
  • Iteração 2:
    x5 = 0.8657 - -0.00063.0097 approx 0.8659,
  • Iteração 3:
  • Iteração 4:
    diferença .
  • Iteração 5:
    diferença , já satisfazendo o critério.

Passo 4

Método da Secante
  1. Teoria: em vez da derivada, usamos a reta que passa por xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn) - f(xn-1) e . A fórmula é
  1. Chutes iniciais: , .

Passo 5

Iteramos até x2 = 1 - 0.45971-00.4597 - (-1) approx 0.6850 ou x3 = 0.6850 - (-0.4533)0.6850-1-0.4533-0.4597 approx 0.8415 :
  • Iteração 2:
    x4 = 0.8415 - (-0.0717)0.8415-0.6850-0.0717 -(-0.4533) approx 0.8709 x5 = 0.8709 - 0.01570.8709-0.84150.0157 -(-0.0717) approx 0.8656
  • Iteração 3:
    x6 = 0.8656 - 0.00020.8656-0.87090.0002 - 0.0157 approx 0.8655,
  • Iteração 4:
  • Iteração 5:
  • Iteração 6:
    diferença , acabou.

Resposta

Newton–Raphson: raiz (5 iterações)
Secante: raiz (6 iterações)

Exercícios relacionados