Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com
ou até seis iterações (i.e.,
):
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com
ou até seis iterações (i.e.,
).” \n
Informações dadas no enunciado: \n
Informações dadas no enunciado: \n
- Tolerância
. \n - Máximo de iterações
. \n
Informação faltando (essencial para resolver numericamente): as funções cujos zeros devem ser encontrados e os palpites iniciais ) e ) (o método da secante precisa de dois valores iniciais). \n
Como as funções e os palpites não foram fornecidos, não é possível executar as iterações pedidas para esses casos específicos.
Passo 2
Vou explicar didaticamente o método da Secante (para que você consiga aplicar em qualquer função que te derem na prova). \n
Descrição do método: \n
Descrição do método: \n
- O método da Secante é uma técnica para encontrar uma raiz de uma função
usando aproximações sucessivas. Ele aproxima a derivada por uma razão de diferenças (a reta secante que passa por dois pontos da curva). \n
Fórmula de iteração (para): \n
Explicando cada símbolo: \n
-
e são as duas últimas aproximações do zero. \n -
e são os valores da função nesses pontos. \n -
é a nova aproximação obtida pelo ponto de interseção da secante com o eixo . \n
Interpretação rápida: substituímos a derivadapela diferença e resolvemos para onde a reta cruza o eixo .
Passo 3
Critérios de parada e cuidados práticos (o que usar na prova): \n
- Critério baseado nas aproximações: pare quando
. Esse é o mais comum e é o que adotaremos aqui. \n - Alternativa: usar
se o enunciado pedir tolerância no valor da função. \n - Também pare se
atingir (aqui ). \n
Cuidados: \n - Deve-se evitar divisão por zero: se
a fórmula falha (a secante é horizontal). Nesse caso troque palpites ou use outro método. \n - Escolha dos palpites
: idealmente próximos ao zero ou em torno do sinal trocado (se souber um intervalo com troca de sinal, use pontos nesse intervalo). \n - Arredonde apenas quando necessário; numa prova faça as contas com precisão suficiente (3–6 casas decimais) e mantenha mais algarismos internos para estabilidade.
Passo 4
Como organizar as contas manualmente (um passo-a-passo que você pode aplicar na prova): \n
- Escolha
e . \n - Calcule
e . \n - Use a fórmula da secante para obter
. \n - Calcule
. Se for , pare; senão, continue. \n - Atualize
, e repita até ou até cumprir a tolerância. \n
Sugestão de tabela para rascunho (ajuda muito na organização): \n
k,, , , , (pela fórmula), . \n
Dica de arredondamento: guarde mais casas internamente (por ex. 6 a 8 dígitos) e só arredonde na resposta final.
Passo 5
Exemplo completo e mastigado (vou resolver um caso concreto para você entender a mecânica; use esse passo a passo para aplicar a qualquer função que te derem na prova). \n
Escolha de exemplo (apenas para demonstrar): . O zero que conhecemos é
. Vou usar palpites clássicos
e
, com
e
. \n
Iterações: \n
k=1 (dados iniciais): ,
. \n
Escolha de exemplo (apenas para demonstrar):
Iterações: \n
k=1 (dados iniciais):
k=2: aplicar a fórmula com
e
: \n
Calcule
: \n
k=3: com
,
: \n
Calcule os termos:
. \n
Calcule
: \n
k=4: com
,
: \n
Usando frações exatas:
. \n
Calcule
(aproximação): \n
Usando para estimar a diferença
. \n
Usando
k=5: com
,
: \n
Números:
. \n
. \n
Logo atingimos a tolerância em
(menor que o máximo
). \n
Verificação rápida: será muito próximo de zero (ordem de
a
), então
é uma boa aproximação da raiz.
Verificação rápida:
Passo 6
Interpretação e dicas finais para usar na prova: \n
- No exemplo, o método convergiu em 5 iterações para uma aproximação
, com . \n - Na sua prova, substitua
pela função dada e faça as mesmas contas: calcule , aplique a fórmula da secante iterativamente organizando numa tabela e pare quando ou . \n - Se durante as contas aparecer
, declare essa situação e tente outros palpites (explique isso na sua resolução da prova). \n
Força aí — se você me mandar agora as funções e (se houver) palpites iniciais, eu faço as iterações passo a passo para cada uma delas seguindo exatamente esse padrão.
Resposta
Não é possível resolver: as funções (e os palpites iniciais
) não foram fornecidos.