Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com \epsilon=0.0005 ou até seis iterações (i.e., k=6 ):

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com \epsilon=0{,}0005 ou até seis iterações (i.e., k=6).” \n
Informações dadas no enunciado: \n
  • Tolerância \epsilon = 0{,}0005. \n
  • Máximo de iterações k_{\max}=6. \n
    Informação faltando (essencial para resolver numericamente): as funções cujos zeros devem ser encontrados e os palpites iniciais \(x_0) e \(x_1) (o método da secante precisa de dois valores iniciais). \n
    Como as funções e os palpites não foram fornecidos, não é possível executar as iterações pedidas para esses casos específicos.

Passo 2

Vou explicar didaticamente o método da Secante (para que você consiga aplicar em qualquer função que te derem na prova). \n
Descrição do método: \n
  • O método da Secante é uma técnica para encontrar uma raiz de uma função f usando aproximações sucessivas. Ele aproxima a derivada por uma razão de diferenças (a reta secante que passa por dois pontos da curva). \n
    Fórmula de iteração (para k\ge 1): \n
x_{k+1} = x_k - f(x_k)\,\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}
Explicando cada símbolo: \n
  • x_{k-1} e x_k são as duas últimas aproximações do zero. \n
  • f(x_{k-1}) e f(x_k) são os valores da função nesses pontos. \n
  • x_{k+1} é a nova aproximação obtida pelo ponto de interseção da secante com o eixo x. \n
    Interpretação rápida: substituímos a derivada f'(x) pela diferença \dfrac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} e resolvemos para onde a reta cruza o eixo x.

Passo 3

Critérios de parada e cuidados práticos (o que usar na prova): \n
  • Critério baseado nas aproximações: pare quando |x_{k+1}-x_k| < \epsilon. Esse é o mais comum e é o que adotaremos aqui. \n
  • Alternativa: usar |f(x_{k+1})| < \epsilon se o enunciado pedir tolerância no valor da função. \n
  • Também pare se k atingir k_{\max} (aqui 6). \n
    Cuidados: \n
  • Deve-se evitar divisão por zero: se f(x_k)=f(x_{k-1}) a fórmula falha (a secante é horizontal). Nesse caso troque palpites ou use outro método. \n
  • Escolha dos palpites x_0,x_1: idealmente próximos ao zero ou em torno do sinal trocado (se souber um intervalo com troca de sinal, use pontos nesse intervalo). \n
  • Arredonde apenas quando necessário; numa prova faça as contas com precisão suficiente (3–6 casas decimais) e mantenha mais algarismos internos para estabilidade.

Passo 4

Como organizar as contas manualmente (um passo-a-passo que você pode aplicar na prova): \n
  1. Escolha x_0 e x_1. \n
  2. Calcule f(x_0) e f(x_1). \n
  3. Use a fórmula da secante para obter x_2. \n
  4. Calcule |x_2 - x_1|. Se for <\epsilon, pare; senão, continue. \n
  5. Atualize x_{k-1}\leftarrow x_k, x_k\leftarrow x_{k+1} e repita até k=k_{\max} ou até cumprir a tolerância. \n
    Sugestão de tabela para rascunho (ajuda muito na organização): \n
    k, x_{k-1}, x_k, f(x_{k-1}), f(x_k), x_{k+1} (pela fórmula), |x_{k+1}-x_k|. \n
    Dica de arredondamento: guarde mais casas internamente (por ex. 6 a 8 dígitos) e só arredonde na resposta final.

Passo 5

Exemplo completo e mastigado (vou resolver um caso concreto para você entender a mecânica; use esse passo a passo para aplicar a qualquer função que te derem na prova). \n
Escolha de exemplo (apenas para demonstrar): f(x)=x^2-2. O zero que conhecemos é \sqrt{2}\approx 1{,}41421356. Vou usar palpites clássicos x_0=1 e x_1=2, com \epsilon=0{,}0005 e k_{\max}=6. \n
Iterações: \n
k=1 (dados iniciais): x_0=1, x_1=2. \n
f(x_0)=f(1)=1^2-2=-1
f(x_1)=f(2)=4-2=2
k=2: aplicar a fórmula com x_{k-1}=x_0 e x_k=x_1: \n
x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)} =2 - 2\cdot\frac{2-1}{2-(-1)}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\approx 1{,}333333333
|x_2-x_1|=|1{,}333333333-2|=0{,}666666667>\epsilon
Calcule f(x_2): \n
f(x_2)=\left(\frac{4}{3}\right)^2-2=\frac{16}{9}-2=-\frac{2}{9}\approx -0{,}222222222
k=3: com x_{k-1}=x_1=2, x_k=x_2=\tfrac{4}{3}: \n
x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}
Calcule os termos: x_2-x_1=\tfrac{4}{3}-2=-\tfrac{2}{3}. \n
f(x_2)-f(x_1)=-\tfrac{2}{9}-2=-\tfrac{20}{9}
f(x_2)(x_2-x_1)=\left(-\tfrac{2}{9}\right)\left(-\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{4}{27}
\frac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}=\frac{4/27}{-20/9}=-\tfrac{1}{15}
x_3 = x_2 - \left(-\tfrac{1}{15}\right)=\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{15}=\tfrac{21}{15}=\tfrac{7}{5}=1{,}4
|x_3-x_2|=|1{,}4-1{,}333333333|=0{,}066666667>\epsilon
Calcule f(x_3): \n
f(x_3)=1{,}4^2-2=1{,}96-2=-0{,}04
k=4: com x_{k-1}=x_2=\tfrac{4}{3}, x_k=x_3=1{,}4: \n
x_4 = x_3 - f(x_3)\,\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}
Usando frações exatas: x_3-x_2=\tfrac{1}{15}. \n
f(x_3)=-\tfrac{1}{25},\qquad f(x_2)=-\tfrac{2}{9}
f(x_3)-f(x_2)=-\tfrac{1}{25}+\tfrac{2}{9}=\tfrac{41}{225}
\frac{f(x_3)(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}=\frac{(-1/25)(1/15)}{41/225}=-\frac{1}{375}\cdot\frac{225}{41}=-\frac{3}{205}\approx -0{,}01463414634
x_4 = 1{,}4 - (-0{,}01463414634)=1{,}41463414634
|x_4-x_3|=0{,}01463414634>\epsilon
Calcule f(x_4) (aproximação): \n
Usando \sqrt{2}\approx 1{,}41421356237 para estimar a diferença \delta=x_4-\sqrt{2}\approx 0{,}00042058397. \n
f(x_4)=x_4^2-2\approx 2\sqrt{2}\,\delta+\delta^2\approx 0{,}001189495\\ (\text{aprox.})
k=5: com x_{k-1}=x_3=1{,}4, x_k=x_4\approx 1{,}41463414634: \n
x_5 = x_4 - f(x_4)\,\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}
Números: x_4-x_3\approx 0{,}01463414634. \n
f(x_4)\approx 0{,}001189495,\; f(x_3)=-0{,}04. \n
\frac{f(x_4)(x_4-x_3)}{f(x_4)-f(x_3)}\approx\frac{0{,}001189495\cdot 0{,}01463414634}{0{,}001189495-(-0{,}04)}\approx 0{,}000422197
x_5 \approx 1{,}41463414634 - 0{,}000422197 = 1{,}41421194914
|x_5-x_4|\approx 0{,}000422197 < \epsilon
Logo atingimos a tolerância em k=5 (menor que o máximo 6). \n
Verificação rápida: f(x_5) será muito próximo de zero (ordem de 10^{-6} a 10^{-7}), então x_5 é uma boa aproximação da raiz.

Passo 6

Interpretação e dicas finais para usar na prova: \n
  • No exemplo, o método convergiu em 5 iterações para uma aproximação x_5\approx 1{,}41421194914, com |x_5-x_4|<0{,}0005. \n
  • Na sua prova, substitua f pela função dada e faça as mesmas contas: calcule f(x_0),f(x_1), aplique a fórmula da secante iterativamente organizando numa tabela e pare quando |x_{k+1}-x_k|<\epsilon ou k=6. \n
  • Se durante as contas aparecer f(x_k)=f(x_{k-1}), declare essa situação e tente outros palpites (explique isso na sua resolução da prova). \n
    Força aí — se você me mandar agora as funções e (se houver) palpites iniciais, eu faço as iterações passo a passo para cada uma delas seguindo exatamente esse padrão.

Resposta

Não é possível resolver: as funções (e os palpites iniciais x_0,x_1) não foram fornecidos.

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