Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a menor raiz positiva da equação
com precisão
.
Informações dadas e o que precisamos:
a equação
;
queremos a menor solução com
;
critério de parada: erro absoluto na iteração menor que
(ou seja
).
Informações dadas e o que precisamos:
Passo 2
Transformar a equação num problema de encontrar raiz de uma função. Defino
A raiz de
é solução da equação dada. Para aplicar Newton–Raphson precisamos também da derivada
. Derivo termo a termo:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é .
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Passo 3
Explico o método de Newton–Raphson (passo-a-passo didático): dado um palpite inicial
, gera-se a sequência
A ideia: aproximar
por sua reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
. Cada iteração costuma convergir rápido se o chute inicial estiver razoavelmente perto da raiz e se
não for zero no processo. O critério que usaremos é
.
Passo 4
Escolha do palpite inicial
: como
e
, existe uma raiz em
. Tomamos
(meio do intervalo) — um palpite simples e seguro.
Passo 5
Primeira iteração (
, com
) — calculos e explicações:
Aqui usei valores conhecidos aproximados
e
.
A derivada:
A derivada:
Portanto a fórmula de Newton dá
Interpretação: a correção
foi positiva (porque
e
), logo o palpite aumentou.
Passo 6
Segunda iteração (
, com
):
Calculo e
nesse ponto:
Calculo
Aplicando Newton:
Observação:
mudou de sinal (de positivo para negativo) indicando que estamos do outro lado da raiz, e a iteração trouxe o palpite de volta para perto da raiz.
Passo 7
Terceira iteração (
, com
):
Nova iteração:
A correção ficou pequena (aprox
), estamos muito próximos da raiz.
Passo 8
Quarta iteração (
, com
):
Aplicando Newton:
Agora a diferença entre iterações é
ou seja, atingimos o critério de parada pedido.
Passo 9
Conclusão do processo iterativo: a sequência convergiu rapidamente (como se espera do método de Newton) e parámos quando a diferença entre iterações ficou abaixo de
. Assim a menor raiz positiva da equação, com essa precisão, é aproximadamente
. Para apresentar com a precisão solicitada (4 casas decimais), arredondamos para
.