Para o sistema de ponto flutuante
:
Qual a distância entre os dois menores números positivos representáveis no sistema?
Qual a distância entre os dois menores números positivos representáveis no sistema?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a distância entre os dois menores números positivos representáveis no sistema de ponto flutuante
?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- base
, - precisão (nº de dígitos da mantissa)
, - expoente mínimo
, - expoente máximo
.
Queremos a diferença entre o menor número positivo representável e o próximo maior número positivo representável.
Passo 2
Como são os números representáveis em
? Vou escrever a forma geral e explicar cada símbolo. Um número normalizado positivo tem a forma
onde
-
é o primeiro dígito (não pode ser zero, por normalização), -
são os demais dígitos da mantissa (temos dígitos no total), -
é o expoente inteiro com , isto é, .
Também é útil ver essa mantissa como um inteiro
com
dígitos:
O valor do número é então
Isso mostra que, para expoente fixo
, o incremento entre mantissas consecutivas corresponde a um incremento em
.
Passo 3
Qual é o menor número positivo normalizado? Ele ocorre com a menor mantissa possível (mantissa normalizada) e com o menor expoente
. A menor mantissa normalizada tem
e os demais zeros, ou seja
. Isso corresponde a
. Com
temos:
Passo 4
Qual é o próximo número representável maior que esse? Mantendo o mesmo expoente
, o próximo mantissa possível é incrementar
em 1:
, que corresponde à mantissa
. Pelo raciocínio do Passo 2, o incremento entre mantissas consecutivas para expoente
vale
Aqui
, logo
Passo 5
Conclusão: a distância entre o menor número positivo representável
e o próximo maior representável é exatamente
. (Observação didática: estamos assumindo sistema normalizado padrão sem números subnormalizados; se houvesse denormalização o menor incremento poderia ser diferente — mas para
normalmente se considera apenas números normalizados.)