Para o sistema de ponto flutuante F(10,5,-99,99) :
Qual a distância entre os dois menores números positivos representáveis no sistema?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a distância entre os dois menores números positivos representáveis no sistema de ponto flutuante F(10,5,-99,99)?”
Informações dadas:
  • base =10,
  • precisão (nº de dígitos da mantissa) p=5,
  • expoente mínimo e_{\min}=-99,
  • expoente máximo e_{\max}=99.
Queremos a diferença entre o menor número positivo representável e o próximo maior número positivo representável.

Passo 2

Como são os números representáveis em F(10,5,-99,99)? Vou escrever a forma geral e explicar cada símbolo. Um número normalizado positivo tem a forma
(d_0.d_1d_2d_3d_4)_{10}\times 10^{e},
onde
  • d_0\in\{1,2,\dots,9\} é o primeiro dígito (não pode ser zero, por normalização),
  • d_1,d_2,d_3,d_4\in\{0,1,\dots,9\} são os demais dígitos da mantissa (temos p=5 dígitos no total),
  • e é o expoente inteiro com e_{\min}\le e\le e_{\max}, isto é, -99\le e\le 99.
Também é útil ver essa mantissa como um inteiro M com p dígitos:
M = d_0\;10^{4} + d_1\;10^{3} + d_2\;10^{2} + d_3\;10 + d_4.
O valor do número é então
\text{valor} = \frac{M}{10^{4}}\times 10^{e} = M\times 10^{\,e-4}.
Isso mostra que, para expoente fixo e, o incremento entre mantissas consecutivas corresponde a um incremento em 1\times 10^{\,e-4}.

Passo 3

Qual é o menor número positivo normalizado? Ele ocorre com a menor mantissa possível (mantissa normalizada) e com o menor expoente e_{\min}. A menor mantissa normalizada tem d_0=1 e os demais zeros, ou seja d_0d_1d_2d_3d_4 = 1\,0\,0\,0\,0. Isso corresponde a M=10000. Com e=e_{\min}=-99 temos:
\text{menor positivo} = 1{,}0000\times 10^{-99} = 1\times 10^{-99}.

Passo 4

Qual é o próximo número representável maior que esse? Mantendo o mesmo expoente e=-99, o próximo mantissa possível é incrementar M em 1: M=10001, que corresponde à mantissa 1{,}0001. Pelo raciocínio do Passo 2, o incremento entre mantissas consecutivas para expoente e vale
\Delta = 1\times 10^{\,e-4}.
Aqui e=-99, logo
\Delta = 1\times 10^{-99-4} = 1\times 10^{-103}.

Passo 5

Conclusão: a distância entre o menor número positivo representável 1\times 10^{-99} e o próximo maior representável é exatamente \Delta = 10^{-103}. (Observação didática: estamos assumindo sistema normalizado padrão sem números subnormalizados; se houvesse denormalização o menor incremento poderia ser diferente — mas para F(10,5,-99,99) normalmente se considera apenas números normalizados.)

Resposta

10^{-103}

Exercícios relacionados