Para o sistema de ponto flutuante F(10,5,-99,99) :
Qual a distância entre os dois maiores números positivos representáveis no sistema?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a distância entre os dois maiores números positivos representáveis no sistema de ponto flutuante F(10,5,-99,99)?”\n
Informações dadas e que vou usar:
\beta=10,\quad t=5,\quad L=-99,\quad U=99.
A interpretação de “distância entre os dois maiores números positivos representáveis” é a diferença (subtração) entre o maior número positivo representável e o segundo maior número positivo representável no sistema.

Passo 2

Vamos lembrar (passo a passo) como são os números normalizados em um sistema F(\beta,t,L,U). Um número positivo normalizado tem a forma
(d_0.d_1d_2\ldots d_{t-1})_\beta \times \beta^{e},
onde:
  • d_0 é o dígito mais à esquerda e deve satisfazer 1\le d_0\le \beta-1 (isso garante normalização);
  • cada d_i para i\ge1 pertence a \{0,1,\dots,\beta-1\};
  • e é o expoente inteiro que varia entre L e U.\n
    Aqui t é o número de dígitos na mantissa (precisão), \beta é a base e e é o expoente. A menor “unidade” que podemos mudar na mantissa corresponde a uma variação de 1 no último dígito d_{t-1}, que vale \beta^{-(t-1)} na mantissa.

Passo 3

Primeiro encontro o maior mantissa possível (todos dígitos máximos =\beta-1). Esse mantissa máximo vale
M_{\max}=\sum_{i=0}^{t-1}(\beta-1)\beta^{-i}.
Vamos simplificar essa soma como uma série geométrica. Temos
M_{\max}=(\beta-1)\frac{1-\beta^{-t}}{1-\beta^{-1}}.
Como 1-\beta^{-1}=(\beta-1)/\beta, isso simplifica para
M_{\max}=\beta(1-\beta^{-t})=\beta-\beta^{\,1-t}.

Passo 4

O maior número representável usa esse mantissa máximo e o maior expoente e=U. Logo o maior número positivo é
x_{\max}=M_{\max}\beta^{U}=(\beta-\beta^{\,1-t})\beta^{U}=\beta^{U+1}-\beta^{U+1-t}.
Agora substituo \beta=10, t=5 e U=99:
x_{\max}=10^{100}-10^{95}.
(Equivalente a escrever 9{,}9999\times 10^{99}, pois 10^{100}-10^{95}=99999\times 10^{95}=9{,}9999\times10^{99}.)

Passo 5

O segundo maior número representável terá a mesma ordem de magnitude ( e=U) mas com o último dígito da mantissa diminuído em 1. Em termos de mantissa isso é uma diferença de \beta^{-(t-1)}. Assim a diferença entre dois números adjacentes com o mesmo expoente e é
\Delta(e)=\beta^{e}\cdot\beta^{-(t-1)}=\beta^{\,e-t+1}.
Para os dois maiores números usamos e=U, então a distância pedida é
\Delta(U)=\beta^{\,U-t+1}.

Passo 6

Substituindo os valores do sistema:
\Delta(U)=10^{\,99-5+1}=10^{95}.
Portanto a diferença entre o maior e o segundo maior número positivos representáveis em F(10,5,-99,99) é \;10^{95}.

Resposta

10^{95}

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