Para o sistema de ponto flutuante
:
Qual a distância entre os dois maiores números positivos representáveis no sistema?
Qual a distância entre os dois maiores números positivos representáveis no sistema?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a distância entre os dois maiores números positivos representáveis no sistema de ponto flutuante
?”\n
Informações dadas e que vou usar:
Informações dadas e que vou usar:
A interpretação de “distância entre os dois maiores números positivos representáveis” é a diferença (subtração) entre o maior número positivo representável e o segundo maior número positivo representável no sistema.
Passo 2
Vamos lembrar (passo a passo) como são os números normalizados em um sistema
. Um número positivo normalizado tem a forma
onde:
-
é o dígito mais à esquerda e deve satisfazer (isso garante normalização); - cada
para pertence a ; -
é o expoente inteiro que varia entre e .\n
Aquié o número de dígitos na mantissa (precisão), é a base e é o expoente. A menor “unidade” que podemos mudar na mantissa corresponde a uma variação de no último dígito , que vale na mantissa.
Passo 3
Primeiro encontro o maior mantissa possível (todos dígitos máximos
). Esse mantissa máximo vale
Vamos simplificar essa soma como uma série geométrica. Temos
Como
, isso simplifica para
Passo 4
O maior número representável usa esse mantissa máximo e o maior expoente
. Logo o maior número positivo é
Agora substituo
,
e
:
(Equivalente a escrever
, pois
.)
Passo 5
O segundo maior número representável terá a mesma ordem de magnitude (
) mas com o último dígito da mantissa diminuído em
. Em termos de mantissa isso é uma diferença de
. Assim a diferença entre dois números adjacentes com o mesmo expoente
é
Para os dois maiores números usamos
, então a distância pedida é
Passo 6
Substituindo os valores do sistema:
Portanto a diferença entre o maior e o segundo maior número positivos representáveis em
é
.