Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com
ou até seis iterações (i.e.,
):
no intervalo
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:\n
Temos a função no intervalo
.\n
O que se pede: encontrar um zero (uma raiz) de usando o método da Secante com tolerância
ou até um máximo de seis iterações (
).\n
Dados iniciais que vamos usar (padrão neste problema): as duas aproximações iniciais são os extremos do intervalo, ou seja e
.\n
Temos a função
O que se pede: encontrar um zero (uma raiz) de
Dados iniciais que vamos usar (padrão neste problema): as duas aproximações iniciais são os extremos do intervalo, ou seja
Passo 2
O método da Secante — explicação didática\n
O método da Secante é uma forma de aproximar a raiz de usando retas secantes que passam por dois pontos sucessivos da curva
. Em vez de usar a derivada (como em Newton), a Secante usa a inclinação aproximada entre os pontos
e
.\n
Fórmula do método (vamos usá-la em cada iteração):\n
O método da Secante é uma forma de aproximar a raiz de
Fórmula do método (vamos usá-la em cada iteração):\n
O significado de cada termo:\n
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas;\n -
e são os valores da função nesses pontos;\n -
é a próxima aproximação obtida cortando a secante com o eixo .\n
Critério de parada que vou usar (segundo enunciado): paramos quandoou quando atingirmos iterações, o que ocorrer primeiro. Isso é prático para uma prova sem depender de uma calculadora sofisticada: controlamos a diferença entre iterações.\n
Passo 3
Avaliações iniciais e primeira iteração\n
Calculemos primeiro os valores de nos pontos iniciais:\n
Calculemos primeiro os valores de
Agora aplicamos a fórmula da secante para obter
:\n
Efetuando a divisão:\n
Passo 4
Avaliação de
e segunda iteração\n
Calculamos :\n
Calculamos
Agora usamos os pontos
e
para obter
:\n
Calculando os termos:\n
Passo 5
Avaliação de
e terceira iteração\n
Calculamos :\n
Calculamos
Usando
e
, obtemos
:\n
Passo 6
Avaliação de
e quarta iteração\n
Calculamos :\n
Calculamos
Agora usamos
e
para obter
:\n
Passo 7
Avaliação de
e quinta iteração\n
Calculamos :\n
Calculamos
Usando
e
aplicamos a fórmula para obter
:\n
Calculando numericamente os termos (detalhes das multiplicações e divisões foram feitos seguindo a fórmula anterior) obtemos:\n
Passo 8
Critério de parada e conclusão das iterações\n
Verificamos a diferença entre as duas últimas aproximações:\n
Verificamos a diferença entre as duas últimas aproximações:\n
Portanto o critério
foi satisfeito na sexta iteração. Como também não ultrapassamos o limite de seis iterações, paramos aqui. A aproximação final da raiz é
(arredondamentos foram feitos nas etapas, mantendo precisão suficiente para a tolerância pedida).\n