Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com \epsilon=0.0005 ou até seis iterações (i.e., k=6 ):
f(x)=2 x^{3}+\ln (x)-5 no intervalo [1,2]

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:\n
Temos a função \,f(x)=2x^{3}+\ln(x)-5\, no intervalo [1,2].\n
O que se pede: encontrar um zero (uma raiz) de \,f(x)\, usando o método da Secante com tolerância \,\epsilon=0{,}0005\, ou até um máximo de seis iterações ( k=6).\n
Dados iniciais que vamos usar (padrão neste problema): as duas aproximações iniciais são os extremos do intervalo, ou seja \,x_{0}=1\, e \,x_{1}=2\,.\n

Passo 2

O método da Secante — explicação didática\n
O método da Secante é uma forma de aproximar a raiz de \,f(x)\, usando retas secantes que passam por dois pontos sucessivos da curva y=f(x). Em vez de usar a derivada (como em Newton), a Secante usa a inclinação aproximada entre os pontos (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_{k},f(x_{k})).\n
Fórmula do método (vamos usá-la em cada iteração):\n
x_{k+1} = x_{k} - f(x_k)\,\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.\n
O significado de cada termo:\n
  • \,x_{k-1} e \,x_k são as duas últimas aproximações conhecidas;\n
  • \,f(x_{k-1}) e \,f(x_k) são os valores da função nesses pontos;\n
  • \,x_{k+1} é a próxima aproximação obtida cortando a secante com o eixo x.\n
    Critério de parada que vou usar (segundo enunciado): paramos quando \,|x_{k+1}-x_k|<\epsilon=0{,}0005\, ou quando atingirmos k=6 iterações, o que ocorrer primeiro. Isso é prático para uma prova sem depender de uma calculadora sofisticada: controlamos a diferença entre iterações.\n

Passo 3

Avaliações iniciais e primeira iteração\n
Calculemos primeiro os valores de \,f nos pontos iniciais:\n
f(1)=2\cdot 1^{3}+\ln(1)-5=2+0-5=-3.\n
f(2)=2\cdot 2^{3}+\ln(2)-5=16+\ln(2)-5=11+\ln(2)\approx 11{,}693147.\n
Agora aplicamos a fórmula da secante para obter \,x_{2}:\n
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =2-11{,}693147\cdot\frac{2-1}{11{,}693147-(-3)}.\n
Efetuando a divisão:\n
x_{2}\approx 2-\frac{11{,}693147}{14{,}693147}\approx 1{,}204119.\n

Passo 4

Avaliação de \,f(x_{2}) e segunda iteração\n
Calculamos \,f(x_{2}):\n
f(1{,}204119)=2(1{,}204119)^{3}+\ln(1{,}204119)-5\approx -1{,}322143.\n
Agora usamos os pontos (x_{1},f(x_{1}))=(2,11{,}693147) e (x_{2},f(x_{2}))=(1{,}204119,-1{,}322143) para obter \,x_{3}:\n
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} \approx 1{,}204119 - (-1{,}322143)\frac{1{,}204119-2}{-1{,}322143-11{,}693147}.\n
Calculando os termos:\n
x_{3}\approx 1{,}284987.\n

Passo 5

Avaliação de \,f(x_{3}) e terceira iteração\n
Calculamos \,f(x_{3}):\n
f(1{,}284987)=2(1{,}284987)^{3}+\ln(1{,}284987)-5\approx -0{,}506992.\n
Usando (x_{2},f(x_{2}))=(1{,}204119,-1{,}322143) e (x_{3},f(x_{3}))=(1{,}284987,-0{,}506992), obtemos \,x_{4}:\n
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})} \approx 1{,}335271.\n

Passo 6

Avaliação de \,f(x_{4}) e quarta iteração\n
Calculamos \,f(x_{4}):\n
f(1{,}335271)=2(1{,}335271)^{3}+\ln(1{,}335271)-5\approx 0{,}050525.\n
Agora usamos (x_{3},f(x_{3})) e (x_{4},f(x_{4})) para obter \,x_{5}:\n
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})} \approx 1{,}330713.\n

Passo 7

Avaliação de \,f(x_{5}) e quinta iteração\n
Calculamos \,f(x_{5}):\n
f(1{,}330713)=2(1{,}330713)^{3}+\ln(1{,}330713)-5\approx -0{,}002067.\n
Usando (x_{4},f(x_{4})) e (x_{5},f(x_{5})) aplicamos a fórmula para obter \,x_{6}:\n
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.\n
Calculando numericamente os termos (detalhes das multiplicações e divisões foram feitos seguindo a fórmula anterior) obtemos:\n
x_{6}\approx 1{,}330892.\n

Passo 8

Critério de parada e conclusão das iterações\n
Verificamos a diferença entre as duas últimas aproximações:\n
|x_{6}-x_{5}|\approx |1{,}330892-1{,}330713|\approx 0{,}000179 < \epsilon=0{,}0005.\n
Portanto o critério |x_{k+1}-x_k|<\epsilon foi satisfeito na sexta iteração. Como também não ultrapassamos o limite de seis iterações, paramos aqui. A aproximação final da raiz é \,x_{6}\approx 1{,}330892\, (arredondamentos foram feitos nas etapas, mantendo precisão suficiente para a tolerância pedida).\n

Resposta

\,x\approx 1{,}330892

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