Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com \epsilon=0.0005 ou até seis iterações (i.e., k=6 ):
f(x)=x^{3}-\cos (x) no intervalo [0,1]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um zero da função f(x)=x^{3}-\cos(x) no intervalo [0,1] usando o método da Secante com tolerância \epsilon=0,0005 ou até k=6 iterações.
Informações relevantes dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-\cos(x).
  • Intervalo: [0,1] (vamos usar os extremos como pontos iniciais da secante: x_{0}=0 e x_{1}=1).
  • Critério de parada: |x_{k+1}-x_{k}|<\epsilon ou quando atingirmos k=6.

Passo 2

O método da Secante aproxima a raiz com a interseção da secante que passa por (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_{k},f(x_{k})) com o eixo x. A fórmula iterativa é:
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
Aqui:
  • x_{k-1} e x_{k} são as duas últimas aproximações,
  • f(x_{k-1}) e f(x_{k}) são os respectivos valores da função.
    Critério de parada que usaremos: parar quando |x_{k+1}-x_{k}|<0,0005 ou quando alcançarmos k=6. Vou mostrar cálculo por cálculo, explicando cada conta para que dê para reproduzir na prova.

Passo 3

Avaliação inicial dos pontos escolhidos:
f(0)=0^{3}-\cos(0)=0-1=-1.
f(1)=1^{3}-\cos(1)=1-\cos(1).
Sabemos \cos(1)\approx 0,5403023059, então
f(1)\approx 1-0,5403023059=0,4596976941.

Passo 4

Aplicando a fórmula com x_{0}=0 e x_{1}=1:
x_{2}=1 - f(1)\frac{1-0}{f(1)-f(0)} = 1 - \frac{f(1)}{f(1)+1}.
Substituindo f(1)\approx 0,4596976941 obtemos
x_{2}=\frac{1}{1+f(1)}\approx\frac{1}{1,4596976941}\approx 0,685073367.
Agora calculamos f(x_{2}). Para isso avalio x_{2}^{2}, x_{2}^{3} e \cos(x_{2}) usando séries truncadas (suficientes para a precisão que precisamos):
x_{2}^{2}\approx 0,4693255153,\qquad x_{2}^{3}\approx 0,3215222915.
Usando a série de Taylor para \cos centrada em 0:
\cos(x)\approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720},
com as potências já calculadas obtemos
\cos(x_{2})\approx 0,7743738440.
Logo
f(x_{2})=x_{2}^{3}-\cos(x_{2})\approx 0,3215222915-0,7743738440=-0,4528515525.

Passo 5

Agora usamos os pontos x_{1}=1 e x_{2}\approx 0,685073367 com f(1) e f(x_{2}):
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(1)}.
Substituindo os valores:
x_{3}\approx 0,685073367 - (-0,4528515525)\frac{0,685073367-1}{-0,4528515525-0,4596976941}\approx 0,841418367.
Calculo de f(x_{3}): primeiro as potências
x_{3}^{2}\approx 0,70798301,\qquad x_{3}^{3}\approx 0,59570873.
Estimando \cos(x_{3}) pela série (mesmo procedimento),
\cos(x_{3})\approx 0,6664015850.
Então
f(x_{3})\approx 0,59570873-0,6664015850=-0,0706928550.

Passo 6

Usando x_{2} e x_{3}:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo números:
x_{4}\approx 0,841418367 - (-0,0706928550)\frac{0,841418367-0,685073367}{-0,0706928550-(-0,4528515525)}\approx 0,870349367.
Avaliação de f(x_{4}):
x_{4}^{2}\approx 0,757507,\qquad x_{4}^{3}\approx 0,65929544,
\cos(x_{4})\approx 0,64455164,
logo
f(x_{4})\approx 0,65929544-0,64455164=0,01474380.
Diferença entre iterações: |x_{4}-x_{3}|\approx 0,028931, ainda maior que \epsilon.

Passo 7

Usando x_{3} e x_{4}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo:
x_{5}\approx 0,870349367 - 0,01474380\frac{0,870349367-0,841418367}{0,01474380-(-0,0706928550)}\approx 0,865353367.
Avaliação de f(x_{5}):
x_{5}^{2}\approx 0,748835,\qquad x_{5}^{3}\approx 0,648006,
\cos(x_{5})\approx 0,6483656,
portanto
f(x_{5})\approx 0,648006-0,6483656=-0,0003596.
Diferença |x_{5}-x_{4}|\approx 0,004996, ainda maior que \epsilon.

Passo 8

Usando x_{4} e x_{5}:
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Substituindo:
x_{6}\approx 0,865353367 - (-0,0003596)\frac{0,865353367-0,870349367}{-0,0003596-0,01474380}\approx 0,86547195.
Calculamos a diferença entre as últimas aproximações:
|x_{6}-x_{5}|\approx 0,0001186<0,0005.
Como a diferença caiu abaixo de \epsilon=0,0005, paramos aqui (além disso atingimos k=6 na notação x_{6}). A aproximação final da raiz é x_{6}\approx 0,865472 (arredondando).

Resposta

\,0,865472

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