Encontre o zero das seguintes funções pelo método da Secante com
ou até seis iterações (i.e.,
):
no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um zero da função
no intervalo
usando o método da Secante com tolerância
ou até
iterações.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Função:
. - Intervalo:
(vamos usar os extremos como pontos iniciais da secante: e ). - Critério de parada:
ou quando atingirmos .
Passo 2
O método da Secante aproxima a raiz com a interseção da secante que passa por
e
com o eixo
. A fórmula iterativa é:
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações, -
e são os respectivos valores da função.
Critério de parada que usaremos: parar quandoou quando alcançarmos . Vou mostrar cálculo por cálculo, explicando cada conta para que dê para reproduzir na prova.
Passo 3
Avaliação inicial dos pontos escolhidos:
Sabemos
, então
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Substituindo
obtemos
Agora calculamos
. Para isso avalio
,
e
usando séries truncadas (suficientes para a precisão que precisamos):
Usando a série de Taylor para
centrada em
:
com as potências já calculadas obtemos
Logo
Passo 5
Agora usamos os pontos
e
com
e
:
Substituindo os valores:
Calculo de
: primeiro as potências
Estimando
pela série (mesmo procedimento),
Então
Passo 6
Usando
e
:
Substituindo números:
Avaliação de
:
logo
Diferença entre iterações:
, ainda maior que
.
Passo 7
Usando
e
:
Substituindo:
Avaliação de
:
portanto
Diferença
, ainda maior que
.
Passo 8
Usando
e
:
Substituindo:
Calculamos a diferença entre as últimas aproximações:
Como a diferença caiu abaixo de
, paramos aqui (além disso atingimos
na notação
). A aproximação final da raiz é
(arredondando).