Na engenharia ambiental (uma área especializada da engenharia civil), a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de oxigênio c(mg / L) em um rio a jusante de uma descarga de esgoto:
c=10-20(e^-0,15 x-e^-0,5 x)
onde x é a distância a jusante em quilômetros.
Determine a distância a jusante na qual o oxigênio está em um minimo. Qual é a concentraçâo nessa posição?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a concentração de oxigênio rio abaixo é dada por
c(x) = 10 - 20l(e^-0,15x - e^-0,5xr),
onde é a distância em km. A matéria aqui é cálculo diferencial: vamos usar derivada pra encontrar o ponto em que é mínima. Precisamos lembrar que para achar mínimos de uma função, derivamos, igualamos a zero e conferimos que dá um mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada c(x) = 10 - 20,e^-0,15x + 20,e^-0,5x . Teoria rápida: a derivada de c'(x) = 0 - 20l(-0,15,e^-0,15xr) + 20l(-0,5,e^-0,5xr) é c'(x) = 20l(0,15,e^-0,15x - 0,5,e^-0,5xr) . Então,
0,15,e^-0,15x ;=; 0,5,e^-0,5x
Derivando termo a termo:
0,15,e^(-0,15x + 0,5x) = 0,5 Longrightarrow 0,15,e^0,35x = 0,5
Isso dá
e^0,35x = 0,50,15 = 103, 0,35x = ln!l(tfrac103r), x = ln(10/3)0,35
Para extremar, a gente faz x approx 1,203970,35 approx 3,44 km :
Divide ambos os lados por :
Isolando :
Calculando,

Passo 3

Agora, vamos ver qual é c(3,44) = 10 - 20l(e^-0,15cdot3,44 - e^-0,5cdot3,44r) nesse ponto. Basta pôr e^-0,516 approx 0,597, e^-1,72 approx 0,179, na fórmula original:
c(3,44) = 10 - 20,(0,597 - 0,179) = 10 - 20cdot0,418 approx 10 - 8,36 = 1,64 mg/L
Calculando cada expoente:
então

Resposta

Distância onde é mínima: km.
Concentração mínima: mg/L.

Exercícios relacionados