Na engenharia ambiental (uma área especializada da engenharia civil), a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de oxigênio
em um rio a jusante de uma descarga de esgoto:
onde
é a distância a jusante em quilômetros.
Determine a distância a jusante na qual o oxigênio está em um minimo. Qual é a concentraçâo nessa posição?
Determine a distância a jusante na qual o oxigênio está em um minimo. Qual é a concentraçâo nessa posição?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a concentração de oxigênio rio abaixo é dada por
onde
é a distância em km. A matéria aqui é cálculo diferencial: vamos usar derivada pra encontrar o ponto em que
é mínima. Precisamos lembrar que para achar mínimos de uma função, derivamos, igualamos a zero e conferimos que dá um mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada
. Teoria rápida: a derivada de
é
. Então,
Derivando termo a termo:
Isso dá
Para extremar, a gente faz
:
Divide ambos os lados por
:
Isolando
:
Calculando,
Passo 3
Agora, vamos ver qual é
nesse ponto. Basta pôr
na fórmula original:
Calculando cada expoente:
então
Resposta
Distância onde
é mínima:
km.
Concentração mínima: mg/L.
Concentração mínima: