(Valor: 2,5 pontos) A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta, onde v(t) é dada por v(t)=3 t-6. Encontre:
A distância percorrida no intervalo entre 0 e 3 segundos.

Passo 1

Resumo da questão: temos a velocidade de uma partícula em função do tempo dada por
v(t)=3t-6
e queremos saber a distância total percorrida entre e segundos.
Matéria envolvida: cálculo integral (ligação entre velocidade e deslocamento/distância).
O que vamos precisar:
• Saber que o deslocamento é a integral da velocidade, .
• Para distância total, usamos a integral do valor absoluto da velocidade, .
• Identificar quando muda de sinal para dividir o intervalo.

Passo 2

Primeiro, descobrimos quando a velocidade zera (pois aí a partícula inverte o sentido):
3t-6=0 Longrightarrow t=2 s
Isso nos diz que em
, (movimento “para trás”),
, (movimento “para frente”).

Passo 3

Teoria rápida:
– Deslocamento líquido entre distância=integral0^2l|3t-6r|,dt +integral2^3l|3t-6r|,dt e : .
– Distância total: .
Como troca de sinal em , dividimos a integral em e :
â

Passo 4

No trecho integral0^2(6-3t),dt =l[6t-tfrac32t^2r]0^2 =(12-6)-0 =6 m , , então .
Calculamos

Passo 5

No trecho integral2^3(3t-6),dt =l[tfrac32t^2-6tr]2^3 =l(13,5-18r)-l(6-12r) =-4,5-(-6) =1,5 m , , logo .
Calculamos

Passo 6

Somando os dois trechos:
6;+;1,5 =7,5 m

Resposta

A distância total percorrida entre e segundos é .

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