(Valor: pontos) A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta, onde é dada por . Encontre:
A distância percorrida no intervalo entre 0 e 3 segundos.
Passo 1
Resumo da questão: temos a velocidade de uma partícula em função do tempo dada por
e queremos saber a distância total percorrida entre e segundos.
Matéria envolvida: cálculo integral (ligação entre velocidade e deslocamento/distância).
O que vamos precisar:
• Saber que o deslocamento é a integral da velocidade, .
• Para distância total, usamos a integral do valor absoluto da velocidade, .
• Identificar quando muda de sinal para dividir o intervalo.
Passo 2
Primeiro, descobrimos quando a velocidade zera (pois aí a partícula inverte o sentido):
Isso nos diz que em
• , (movimento “para trás”),
• , (movimento “para frente”).
Passo 3
Teoria rápida:
– Deslocamento líquido entre e : .
– Distância total: .
Como troca de sinal em , dividimos a integral em e :
Passo 4
No trecho integral0^2(6-3t),dt =l[6t-tfrac32t^2r]0^2 =(12-6)-0 =6 m , , então .
Calculamos
Passo 5
No trecho integral2^3(3t-6),dt =l[tfrac32t^2-6tr]2^3 =l(13,5-18r)-l(6-12r) =-4,5-(-6) =1,5 m , , logo .
Calculamos