In environmental engineering (a specialty area in civil engineering), the following equation can be used to compute the oxygen level
in a river downstream from a sewage discharge:
where
is the distance downstream in kilometers.
Determine the distance downstream where the oxygen level first falls to a reading of
. (Hint: It is within 2 km of the discharge.) Determine your answer to a
error. Note that levels of oxygen below
are generally harmful to gamefish such as trout and salmon.
Determine the distance downstream where the oxygen level first falls to a reading of
Passo 1
Beleza, então o problema diz que a concentração de oxigênio num rio a uma distância
(em km) depois de uma descarga de esgoto é dada por
A gente precisa achar a que distância
essa concentração cai pela primeira vez a
mg/L.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Manipulação de equações com exponenciais;
- Método numérico de bissecção (porque não tem jeito fácil de “isolar”
em forma fechada).
Passo 2
Primeiro, ajeitamos a equação para ficar na forma
. Partindo de
subtraindo 10 dos dois lados e dividindo por 20, dá
Então definimos
e queremos
.
Passo 3
Como não conseguimos resolver isso “no lápis”, vamos usar o método da bissecção:
- Escolhemos um intervalo
em que e tenham sinais opostos (garante que há raiz ali dentro). - Calculamos o ponto médio
. - Se
for positivo, substituímos ; se for negativo, . - Repetimos até a largura do intervalo ser menor que a tolerância desejada.
Pelo enunciado, a raiz está em até 2 km. Testando:
-
(negativo) -
(positivo)
Logo há raiz em.
Passo 4
Fazendo umas iterações da bissecção (vou pular as contas de cada passo, mas garanto que são cerca de 10 iterações até a precisão de 1% em
), a gente encontra:
Checagem rápida: 1% de 0.976 km é ±0.0098 km. Nosso intervalo final da bissecção ficou bem menor que isso, então estamos certos na precisão pedida.
Resposta
A concentração cai para 5 mg/L pela primeira vez a cerca de
rio abaixo (com 1% de erro).