In environmental engineering (a specialty area in civil engineering), the following equation can be used to compute the oxygen level c(mg / L) in a river downstream from a sewage discharge:
c=10-20(e^-0.15 x-e^-0.5 x)
where x is the distance downstream in kilometers.
Determine the distance downstream where the oxygen level first falls to a reading of 5 mg / L. (Hint: It is within 2 km of the discharge.) Determine your answer to a 1 % error. Note that levels of oxygen below 5 mg / L are generally harmful to gamefish such as trout and salmon.

Passo 1

Beleza, então o problema diz que a concentração de oxigênio num rio a uma distância c(x) ;=; 10 ;-; 20l(e^-0.15x-e^-0.5xr) (em km) depois de uma descarga de esgoto é dada por
A gente precisa achar a que distância essa concentração cai pela primeira vez a mg/L.
Conteúdo que vamos usar:
  • Manipulação de equações com exponenciais;
  • Método numérico de bissecção (porque não tem jeito fácil de “isolar” em forma fechada).

Passo 2

Primeiro, ajeitamos a equação para ficar na forma c(x)=5 Longrightarrow 10 - 20l(e^-0.15x-e^-0.5xr)=5 . Partindo de
e^-0.15x - e^-0.5x ;=; 520 = 0.25
subtraindo 10 dos dois lados e dividindo por 20, dá
f(x) = e^-0.15x - e^-0.5x ;-; 0.25,
Então definimos
e queremos .

Passo 3

Como não conseguimos resolver isso “no lápis”, vamos usar o método da bissecção:
  1. Escolhemos um intervalo em que e tenham sinais opostos (garante que há raiz ali dentro).
  2. Calculamos o ponto médio .
  3. Se for positivo, substituímos ; se for negativo, .
  4. Repetimos até a largura do intervalo ser menor que a tolerância desejada.
Pelo enunciado, a raiz está em até 2 km. Testando:
  • (negativo)
  • (positivo)
    Logo há raiz em .

Passo 4

Fazendo umas iterações da bissecção (vou pular as contas de cada passo, mas garanto que são cerca de 10 iterações até a precisão de 1% em x approx 0.976 km ), a gente encontra:
Checagem rápida: 1% de 0.976 km é ±0.0098 km. Nosso intervalo final da bissecção ficou bem menor que isso, então estamos certos na precisão pedida.

Resposta

A concentração cai para 5 mg/L pela primeira vez a cerca de
boxed0.98 km
rio abaixo (com 1% de erro).

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