5{ }^{\text {a }} Questão: ( 20 pontos) Usando a função f(x)=e^{x} e o polinômio de Taylor T_{5}(x) ao redor de a=0, encontre uma aproximação do valor e^{0.8}. Além disso, encontre um limitante superior do erro cometido nessa aproximação.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se uma aproximação de e^{0,8} usando o polinômio de Taylor de ordem 5 centrado em a=0 (ou seja, o polinômio de Maclaurin T_{5}).
  • Pede-se também um limitante superior (uma cota) para o erro cometido por essa aproximação.
  • Dado: f(x)=e^{x} e queremos avaliar em x=0,8.

Passo 2

Formula do polinômio de Taylor (Maclaurin) e aplicação ao caso:
  • Lembrete rápido: o polinômio de Taylor de ordem n em torno de a=0 é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}.
  • Para f(x)=e^{x} todas as derivadas são f^{(k)}(x)=e^{x}. Então em x=0 temos f^{(k)}(0)=e^{0}=1 para todo k.
  • Logo o polinômio de ordem 5 é simplesmente
T_{5}(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}.

Passo 3

Calcular cada termo de T_{5}(0,8) passo a passo (contas fáceis de fazer à mão):
  • Termo k=0: 1.
  • Termo k=1: x = 0,8.
  • Termo k=2: \dfrac{x^{2}}{2!}=\dfrac{0,8^{2}}{2}=\dfrac{0,64}{2}=0,32.
  • Termo k=3: \dfrac{x^{3}}{3!}=\dfrac{0,8^{3}}{6}=\dfrac{0,512}{6}=0,085333\ldots (ou 0,085\overline{3}).
  • Termo k=4: \dfrac{x^{4}}{4!}=\dfrac{0,8^{4}}{24}=\dfrac{0,4096}{24}=0,0170666\ldots.
  • Termo k=5: \dfrac{x^{5}}{5!}=\dfrac{0,8^{5}}{120}=\dfrac{0,32768}{120}=0,0027306666\ldots.

Passo 4

Somar os termos para obter a aproximação:
  • Soma parcial passo a passo:
    • 1+0,8=1,8
    • 1,8+0,32=2,12
    • 2,12+0,085333\ldots=2,205333\ldots
    • 2,205333\ldots+0,0170666\ldots=2,2224
    • 2,2224+0,0027306666\ldots=2,2251306666\ldots
  • Portanto
T_{5}(0,8)\approx 2,2251306667.
(Arredondei para 10 casas decimais para ficar claro; na prova normalmente 4 ou 5 casas já é suficiente.)

Passo 5

Fórmula do resto (Lagrange) e como usá-la para obter um limitante:
  • O resto de ordem n na fórmula de Taylor (forma de Lagrange) é
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x.
  • Aqui n=5, x=0,8 e f^{(6)}(t)=e^{t}. Então existe \xi\in(0,0,8) tal que
R_{5}(0,8)=\frac{e^{\xi}}{6!}\,0,8^{6}.
  • Para obter um limitante superior do valor absoluto do resto usamos que e^{\xi}\le e^{0,8}\le e^{1}=e (usar e é seguro e simples). Assim
\lvert R_{5}(0,8)\rvert \le \frac{e}{6!}\,0,8^{6}.

Passo 6

Calcular numericamente a cota do erro:
  • Calcular 0,8^{6}: 0,8^{2}=0,64, 0,8^{3}=0,512, 0,8^{4}=0,4096, 0,8^{5}=0,32768, 0,8^{6}=0,262144.
  • 6!=720.
  • Portanto
\frac{0,8^{6}}{6!}=\frac{0,262144}{720}\approx 0,0003635333\ldots
  • Multiplicando por e (aproximando e\approx 2,718281828) obtemos
\lvert R_{5}(0,8)\rvert \le e\cdot\frac{0,262144}{720}\approx 2,718281828\cdot 0,0003635333\approx 0,00098819.
  • Logo um limitante superior prático para o erro é aproximadamente 0,00098819.

Passo 7

Observações finais e interpretação:
  • Note que todos os termos da série de e^{x} são positivos quando x>0; portanto o polinômio parcial T_{5}(0,8) é menor que o valor exato e^{0,8}. Assim o erro e^{0,8}-T_{5}(0,8) é positivo e obedecerá à cota acima.
  • A cota encontrada é (intencionalmente) simples de usar e bastante segura. O erro real é menor que essa cota; se for necessário um limite mais apertado pode-se usar e^{0,8} no lugar de e ao estimar e^{\xi}, mas isso exige conhecer (ou aproximar) e^{0,8} de outra forma.

Resposta

e^{0,8}\approx 2,2251306667
\lvert\text{erro}\rvert = \lvert e^{0,8}-T_{5}(0,8)\rvert \le 0,00098819

Exercícios relacionados