Questão: ( 20 pontos) Usando a função
e o polinômio de Taylor
ao redor de
, encontre uma aproximação do valor
. Além disso, encontre um limitante superior do erro cometido nessa aproximação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se uma aproximação de
usando o polinômio de Taylor de ordem 5 centrado em (ou seja, o polinômio de Maclaurin ). - Pede-se também um limitante superior (uma cota) para o erro cometido por essa aproximação.
- Dado:
e queremos avaliar em .
Passo 2
Formula do polinômio de Taylor (Maclaurin) e aplicação ao caso:
- Lembrete rápido: o polinômio de Taylor de ordem
em torno de é
- Para
todas as derivadas são . Então em temos para todo . - Logo o polinômio de ordem 5 é simplesmente
Passo 3
Calcular cada termo de
passo a passo (contas fáceis de fazer à mão):
- Termo
: . - Termo
: . - Termo
: . - Termo
: (ou ). - Termo
: . - Termo
: .
Passo 4
Somar os termos para obter a aproximação:
- Soma parcial passo a passo:
-
- Portanto
(Arredondei para 10 casas decimais para ficar claro; na prova normalmente 4 ou 5 casas já é suficiente.)
Passo 5
Fórmula do resto (Lagrange) e como usá-la para obter um limitante:
- O resto de ordem
na fórmula de Taylor (forma de Lagrange) é
para algum
entre
e
.
- Aqui
, e . Então existe tal que
- Para obter um limitante superior do valor absoluto do resto usamos que
(usar é seguro e simples). Assim
Passo 6
Calcular numericamente a cota do erro:
- Calcular
: , , , , . -
. - Portanto
- Multiplicando por
(aproximando ) obtemos
- Logo um limitante superior prático para o erro é aproximadamente
.
Passo 7
Observações finais e interpretação:
- Note que todos os termos da série de
são positivos quando ; portanto o polinômio parcial é menor que o valor exato . Assim o erro é positivo e obedecerá à cota acima. - A cota encontrada é (intencionalmente) simples de usar e bastante segura. O erro real é menor que essa cota; se for necessário um limite mais apertado pode-se usar
no lugar de ao estimar , mas isso exige conhecer (ou aproximar) de outra forma.