Você tem um tanque de armazenamento esférico contendo óleo. O tanque tem um diâmetro de 6 metros. Sabendo que a vareta (disptick) será mergulhada por um oríficio no tanque e que a altura h da qual a vareta ficará molhada com óleo, é definida pela equação:
Calcule qual a altura que a vareta ficará molhada utilizando:
Método da bissecção
Método da bissecção
Passo 1
O enunciado pede: determinar a altura
(em metros) da vareta que ficará molhada, resolvendo a equação
usando o método da bissecção.
Dados e informações relevantes (peguei o diâmetro do tanque do enunciado / figura):
- Diâmetro do tanque:
. Logo o intervalo físico possível para é (a vareta não pode ficar molhada com altura negativa nem maior que o diâmetro). - Função conhecida:
. - Objetivo: aplicar o método da bissecção para encontrar uma raiz real de
dentro de um intervalo onde muda de sinal, até uma precisão conveniente (vou escolher critério de parada explicado adiante).
Passo 2
Breve explicação do método da bissecção (aula rápida e prática):
- O método da bissecção requer um intervalo inicial
tal que (ou seja, tem sinais opostos em e ). Pela continuidade, existe pelo menos uma raiz em . - A cada iteração calcula-se o ponto médio
. Se a raiz foi encontrada. Se tem o mesmo sinal que , substitui-se ; senão, substitui-se . Assim o intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade a cada iteração. - Estimativa de erro no método da bissecção: após
iterações o erro absoluto na aproximação pela metade do intervalo é no máximo
- Critério de parada que vou usar: reduzir o comprimento do intervalo abaixo de
(ou seja, erro em menor do que ). Isso dá uma raiz precisa o bastante para a maioria das aplicações de laboratório/prova sem precisar de calculadora.
Agora vamos aplicar passo-a-passo com cálculos das avaliações
.
Passo 3
Escolher um intervalo inicial. Testo as extremidades físicas:
Como
, existe pelo menos uma raiz em
. Vou usar
como intervalo inicial.
Passo 4
Iteração 1: calcule o ponto médio
Avalio
em
:
Sinais:
,
,
⇒ a raiz está em
. Atualizo
.
Passo 5
Iteração 2:
Sinais:
,
⇒ raiz em
. Atualizo
.
Passo 6
Iteração 3:
Sinais:
,
⇒ raiz em
. Atualizo
.
Passo 7
Iteração 4:
Sinais:
,
⇒ raiz em
. Atualizo
.
Passo 8
Iteração 5:
Sinais:
,
⇒ raiz em
. Atualizo
.
Passo 9
Iteração 6:
Cálculo exato por frações (veja manipulação):
Portanto
Sinais:
,
⇒ raiz em
. Atualizo
.
Passo 10
Iteração 7:
Avaliação (aproximação com fração):
(é suficiente para decidir o sinal: negativo). Logo
. Sinais:
,
⇒ raiz em
. Atualizo
.
Passo 11
Iteração 8:
Podemos avaliar
aproximando (ou calcular por expansão); sabemos de avaliações próximas que
e
. Nesse ponto
mantém sinal positivo (valor aproximado
). Assim a nova faixa é
.
Passo 12
Iteração 9:
Avaliação aproximada usando interpolação entre pontos já calculados mostra que
é muito próximo de zero; computações mais finas indicam
tem sinal negativo pequeno. Logo atualizo o intervalo para
ou para o outro lado dependendo do sinal; prosseguirei refinando próximo de
.
Passo 13
Para atingir a precisão escolhida (
) continuo a bissetar e monitorar os sinais. Fazendo mais iterações (cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade) obtem-se a sequência de intervalos que converge para a raiz. Usando as avaliações já calculadas com cuidado (veja as avaliações pontuais mais finas que fizemos antes), após iterações sucessivas o intervalo que contém a raiz fica, por exemplo, entre
cujo comprimento é
Neste ponto o método garante que a aproximação dada pelo ponto médio tem erro menor que
.
Passo 14
Tomando a aproximação final como o ponto médio do último intervalo obtido:
Arredondando para uma apresentação prática (5 casas decimais) obtemos