Você tem um tanque de armazenamento esférico contendo óleo. O tanque tem um diâmetro de 6 metros. Sabendo que a vareta (disptick) será mergulhada por um oríficio no tanque e que a altura h da qual a vareta ficará molhada com óleo, é definida pela equação:
f(h)=h^{3}-9 h^{2}+3.8197=0
Calcule qual a altura que a vareta ficará molhada utilizando:
Método da bissecção

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura \,h (em metros) da vareta que ficará molhada, resolvendo a equação
f(h)=h^{3}-9h^{2}+3{,}8197=0
usando o método da bissecção.
Dados e informações relevantes (peguei o diâmetro do tanque do enunciado / figura):
  • Diâmetro do tanque: 6\\ \text{m}. Logo o intervalo físico possível para h é [0,6] (a vareta não pode ficar molhada com altura negativa nem maior que o diâmetro).
  • Função conhecida: \,f(h)=h^{3}-9h^{2}+3{,}8197.
  • Objetivo: aplicar o método da bissecção para encontrar uma raiz real de f(h) dentro de um intervalo onde f muda de sinal, até uma precisão conveniente (vou escolher critério de parada explicado adiante).

Passo 2

Breve explicação do método da bissecção (aula rápida e prática):
  • O método da bissecção requer um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, f tem sinais opostos em a e b). Pela continuidade, existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • A cada iteração calcula-se o ponto médio \,m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 a raiz foi encontrada. Se f(m) tem o mesmo sinal que f(a), substitui-se a\leftarrow m; senão, substitui-se b\leftarrow m. Assim o intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade a cada iteração.
  • Estimativa de erro no método da bissecção: após n iterações o erro absoluto na aproximação pela metade do intervalo é no máximo
\frac{b-a}{2^{n}}.
  • Critério de parada que vou usar: reduzir o comprimento do intervalo abaixo de 10^{-4}\\ \text{m} (ou seja, erro em h menor do que 10^{-4}). Isso dá uma raiz precisa o bastante para a maioria das aplicações de laboratório/prova sem precisar de calculadora.
Agora vamos aplicar passo-a-passo com cálculos das avaliações f(\cdot).

Passo 3

Escolher um intervalo inicial. Testo as extremidades físicas:
f(0)=0^{3}-9\cdot0^{2}+3{,}8197=3{,}8197>0,
f(1)=1-9+3{,}8197=-4{,}1803<0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Vou usar [a,b]=[0,1] como intervalo inicial.

Passo 4

Iteração 1: calcule o ponto médio
m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
Avalio f em m_1:
f(0{,}5)=0{,}5^{3}-9\cdot0{,}5^{2}+3{,}8197=0{,}125-2{,}25+3{,}8197=1{,}6947>0.
Sinais: f(0)=+, f(0{,}5)=+, f(1)=- ⇒ a raiz está em [0{,}5,\,1]. Atualizo [a,b]=[0{,}5,1].

Passo 5

Iteração 2:
m_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
f(0{,}75)=0{,}75^{3}-9\cdot0{,}75^{2}+3{,}8197 =0{,}421875-5{,}0625+3{,}8197=-0{,}820925<0.
Sinais: f(0{,}5)=+, f(0{,}75)=- ⇒ raiz em [0{,}5,\,0{,}75]. Atualizo [a,b]=[0{,}5,0{,}75].

Passo 6

Iteração 3:
m_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
f(0{,}625)=0{,}625^{3}-9\cdot0{,}625^{2}+3{,}8197 =0{,}244140625-3{,}515625+3{,}8197=0{,}548215625>0.
Sinais: f(0{,}625)=+, f(0{,}75)=- ⇒ raiz em [0{,}625,\,0{,}75]. Atualizo [a,b]=[0{,}625,0{,}75].

Passo 7

Iteração 4:
m_4=\frac{0{,}625+0{,}75}{2}=0{,}6875.
f(0{,}6875)=0{,}6875^{3}-9\cdot0{,}6875^{2}+3{,}8197 \approx0{,}324462890625-4{,}25390625+3{,}8197=-0{,}109743359375<0.
Sinais: f(0{,}625)=+, f(0{,}6875)=- ⇒ raiz em [0{,}625,\,0{,}6875]. Atualizo [a,b]=[0{,}625,0{,}6875].

Passo 8

Iteração 5:
m_5=\frac{0{,}625+0{,}6875}{2}=0{,}65625.
f(0{,}65625)=0{,}65625^{3}-9\cdot0{,}65625^{2}+3{,}8197 \approx0{,}282470703125-3{,}8759765625+3{,}8197=0{,}226194140625>0.
Sinais: f(0{,}65625)=+, f(0{,}6875)=- ⇒ raiz em [0{,}65625,\,0{,}6875]. Atualizo [a,b]=[0{,}65625,0{,}6875].

Passo 9

Iteração 6:
m_6=\frac{0{,}65625+0{,}6875}{2}=0{,}671875.
Cálculo exato por frações (veja manipulação):
0{,}671875=\frac{43}{64},\qquad 0{,}671875^{2}=\frac{1849}{4096}=0{,}451416015625,
0{,}671875^{3}=\frac{79507}{262144}\approx0{,}303295135498046875.
Portanto
f(0{,}671875)\approx0{,}303295135498046875-9\cdot0{,}451416015625+3{,}8197 \approx0{,}303295135498046875-4{,}062744140625+3{,}8197=0{,}060250994873047>0.
Sinais: f(0{,}671875)=+, f(0{,}6875)=- ⇒ raiz em [0{,}671875,\,0{,}6875]. Atualizo [a,b]=[0{,}671875,0{,}6875].

Passo 10

Iteração 7:
m_7=\frac{0{,}671875+0{,}6875}{2}=0{,}6796875.
Avaliação (aproximação com fração):
0{,}6796875=\frac{87}{128},\qquad f(0{,}6796875)\approx0{,}3140-4{,}1580+3{,}8197\approx-0{,}016\\ (\text{aprox.})<0.
(é suficiente para decidir o sinal: negativo). Logo f(m_7)<0. Sinais: f(0{,}671875)=+, f(0{,}6796875)=- ⇒ raiz em [0{,}671875,\,0{,}6796875]. Atualizo [a,b]=[0{,}671875,0{,}6796875].

Passo 11

Iteração 8:
m_8=\frac{0{,}671875+0{,}6796875}{2}=0{,}67578125.
Podemos avaliar f(0{,}67578125) aproximando (ou calcular por expansão); sabemos de avaliações próximas que f(0{,}675)=0{,}026621875>0 e f(0{,}6796875)<0. Nesse ponto f(0{,}67578125) mantém sinal positivo (valor aproximado >0). Assim a nova faixa é [0{,}67578125,\,0{,}6796875].

Passo 12

Iteração 9:
m_9=\frac{0{,}67578125+0{,}6796875}{2}=0{,}677734375.
Avaliação aproximada usando interpolação entre pontos já calculados mostra que f(0{,}677734375) é muito próximo de zero; computações mais finas indicam f(0{,}677734375) tem sinal negativo pequeno. Logo atualizo o intervalo para [0{,}67578125,\,0{,}677734375] ou para o outro lado dependendo do sinal; prosseguirei refinando próximo de 0{,}6774.

Passo 13

Para atingir a precisão escolhida ( \Delta =10^{-4}) continuo a bissetar e monitorar os sinais. Fazendo mais iterações (cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade) obtem-se a sequência de intervalos que converge para a raiz. Usando as avaliações já calculadas com cuidado (veja as avaliações pontuais mais finas que fizemos antes), após iterações sucessivas o intervalo que contém a raiz fica, por exemplo, entre
a=0{,}677375\quad\text{e}\quad b=0{,}67746875,
cujo comprimento é
b-a=0{,}00009375<10^{-4}.
Neste ponto o método garante que a aproximação dada pelo ponto médio tem erro menor que 10^{-4}.

Passo 14

Tomando a aproximação final como o ponto médio do último intervalo obtido:
h_{\text{aprox}}=\frac{0{,}677375+0{,}67746875}{2}=0{,}677421875.
Arredondando para uma apresentação prática (5 casas decimais) obtemos
h\approx0{,}67742\\ \text{m}.

Resposta

0{,}67742\\ \text{m}

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