Você tem um tanque de armazenamento esférico contendo óleo. O tanque tem um diâmetro de 6 metros. Sabendo que a vareta (disptick) será mergulhada por um oríficio no tanque e que a altura h da qual a vareta ficará molhada com óleo, é definida pela equação:
Calcule qual a altura que a vareta ficará molhada utilizando:
Método de Newton-Raphson
Método de Newton-Raphson
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a altura
que a vareta (dipstick) ficará molhada, resolvendo a equação
usando o método de Newton–Raphson.
Informações dadas (extraídas do enunciado/imagem):
- Diâmetro do tanque:
. (Logo o raio é .) - A incógnita é a altura
(em metros) onde a vareta fica molhada. - A função cujo zero procuramos é
.
Observações úteis para a solução (sem resolver ainda):
- Valores test (rápidos) mostram
e , então existe uma raiz real entre e .
Passo 2
O método de Newton–Raphson (explicação didática)
- A ideia: aproximar a raiz de uma função por tangentes sucessivas.
- Fórmula iterativa (cada iteração dá uma nova aproximação):
- O que significa cada termo:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada da função nessa aproximação; -
é a próxima aproximação, obtida subtraindo-se o quociente .
-
- Observação prática: precisamos calcular
e em cada iteração. Convergência costuma ser rápida se a aproximação inicial estiver relativamente próxima da raiz e não for zero.
Passo 3
Derivada da função (necessária para Newton–Raphson)
- Dada
, derivamos termo a termo:
- Explicando: a derivada de
é ; a derivada de é ; a constante tem derivada zero.
Passo 4
Escolha da aproximação inicial
- Como vimos em
Passo 5
- Uma escolha simples e razoável é
. É um chute central no intervalo e costuma funcionar bem para Newton–Raphson aqui.
Passo 6
Primeira iteração (de
para
)
- Calculamos
e com :
- Aplica-se a fórmula de Newton:
Passo 7
Segunda iteração (de
para
)
- Primeiro calcular
e com . -
. -
.
-
- Newton:
Passo 8
Terceira iteração (de
para
)
- Com
: -
. -
.
-
- Newton:
Passo 9
Critério de convergência e iteração final
- Diferença entre as últimas aproximações:
- Valor da função em
fica da ordem de (próximo de zero dentro de erros de arredondamento), ou seja, suficientemente pequeno para considerar convergência para propósito prático. - Podemos aceitar
. Arredondando a uma precisão usual (6 dígitos significativos) obtemos: